Me llevó una buena parte del día y un montón de dolores de cabeza, pero yo era capaz de escribir un informal prueba de que el $f(x)=\sin{(\pi Ax)}\left(\,\csc{(\pi x)}+\csc{(\pi (\frac{1}{A}-x))}\,\right)$ tiene un máximo en $x=\frac{1}{2A}$ cualquier $A$ no sólo para los números enteros >= 2, pero para todos los reales $A < -1$ o $A > 1$.
El truco para probar esto, tenemos que probar que f(x)' es 0 y f(x)" es negativo.
Deje $A$ ser cualquier número de los reales excepto 0 y
$f(x) = \sin( \pi A x)\csc(\pi x) + \sin(x \pi A)\csc( \pi(\frac{1}{A} - x))$.
Ahora vamos a derivar f(x).
Derivando f(x), obtenemos que:
$f'(x) = \pi \cos( \pi x) \csc( \pi x)
- \pi\sin(\pi x)\csc( \pi x)\cuna(\pi x)
+ \pi\cos(\pi x)\csc(\pi (\frac{1}{A}-x))
+ \pi\sin(\pi Ax)\csc(\pi(\frac{1}{A}-x))\cuna( \pi(\frac{1}{A}-x))$
Que se reduce a:
$f'(x) = \pi A \cos(\pi Ax)(\csc(\pi x) + \csc(\pi(\frac{1}{A} - x)) + \pi\sin(\pi Ax)(\csc(\pi(\frac{1}{A}-x))\cot(\pi(\frac{1}{A}-x) - \csc(\pi x)\cot(\pi x))$
Ahora vamos a sustituir en $x = \frac{1}{2A}$ y obtener:
$f'(x) = \pi A \cos(\pi A(\frac{1}{2A}))(\csc(\pi(\frac{1}{2A})) + \csc(\pi(1/A - (\frac{1}{2A})) + \pi \sin(\pi A(\frac{1}{2A}))(\csc(\pi(1/A-(\frac{1}{2A})))\cot(\pi(1/A-(\frac{1}{2A})) - \csc(\pi(\frac{1}{2A}))\cot(\pi(\frac{1}{2A}))$
Lo que simplificó parece:
$f'(x) = \pi\cos(\frac{\pi}{2})(\csc(\frac{\pi}{2}) + \csc(\frac{\pi}{2A}))
+ \pi \sin(\frac{\pi}{2})(\csc(\frac{\pi}{2A})\cuna(\frac{\pi}{2A}) - \csc(\frac{\pi}{2A})\cuna(\frac{\pi}{2A}))$
Desde $cos({\pi}{2})) = 0$$\csc(\frac{\pi}{2A})\cot(\frac{\pi}{2A}) - \csc(\frac{\pi}{2A})\cot(\frac{\pi}{2A}) = 0$, se puede reducir aún más el problema:
$f'(x) = \pi A(0)(\csc(\frac{\pi}{2}) + \csc(\frac{\pi}{2A})) + \pi \sin(\frac{\pi}{2})(0)$
Por lo $f'(x) = 0$ reales Una que no es igual a 0 por tanto, por definición, $\frac{1}{2A}$ es un punto crítico.
Ahora a probar que $x = \frac{1}{2A}$ es de un máximo más grande dolor de cabeza.
Con el fin de demostrar $x =\frac{1}{2A}$ es un máximo, debemos demostrar que $f(x)'' < 0$.
Ahora tenemos que tomar la derivada de f(x) " y después de mucho simplificación, sustituyendo $x = \frac{1}{2A}$, y además de simplificar, obtenemos:
$f(x)'' = 2\pi^2\sin(\frac{\pi}{2})(\csc(\frac{\pi}{2A})(-A^2+2\cot(\frac{\pi}{2A})^2+1)$
(Tengo todo el trabajo, es sólo un montón de post.)
Ahora $2\pi^2\sin(\frac{\pi}{2})(\csc(\frac{\pi}{2A})> 0$ para todos los reales excepto $A=0$, por lo que al $-A^2+2\cot(\frac{\pi}{2A})^2+1 < 0$ $\frac{1}{2A}$ es un máximo.
Conectar $-A^2+2\cot(\frac{\pi}{2A})^2+1$ en Wolfram Alpha, al $-1<=A<=1$ $-A^2+2\cot(\frac{\pi}{2A})^2+1 > 0$ e al $A < -1$ o $A > 1$$-A^2+2\cot(\frac{\pi}{2A})^2+1 < 0$.
Así que ya que f(x)" es negativa y f(x)' es 0, por definición, $x=\frac{1}{2A}$ es de un máximo de
todos los reales excepto para -1 <= A <= 1.
QED
(Gracias a Arce y Wolfram Alpha para ayudar a derivar y simplificar los instrumentos derivados y la comprobación de la obra.)
