Una cuestión curiosa sobre la ecuación de Dyson-Schwinger (DSE): ¿por qué funciona tan bien?

Question

Esta pregunta se desprende de mi otra pregunta Ordenación del tiempo y derivada del tiempo en el formalismo de la integral de la trayectoria y el formalismo del operador especialmente de la discusión con drake . El post original está algo mal compuesto porque contiene demasiadas preguntas, y hasta hoy que por fin me animo a componer otra pregunta que espero aclare lo que se preguntaba en ese post.

No tengo ningún problema con todos los derivaciones de los libros de texto de la DSE, pero después de cambiar de perspectiva me pareció muy curioso que la DSE realmente funciona, tomaré la ecuación de movimiento(EOM) de la función de Green ordenada en el tiempo del campo libre de Klein-Gordon(KG) como ejemplo y explicaré lo que realmente quiero decir.

La EOM de la función de Greens libre KG ordenada en T es

$$(\partial^2+m^2)\langle T\{\phi(x)\phi(x')\}\rangle=-i\delta^4(x-x').\tag{1}$$

La función delta proviene del hecho de que $\partial^2$ contiene derivadas temporales y no conmuta con el símbolo de ordenación T. En general, para los operadores bosónicos

$$\partial_t \langle T\{A(t)\,B(t')\}\rangle=\langle T \{ \dot A(t)B(t')\rangle+\delta (t-t')\,\langle [A(t),B(t')]\rangle ,\tag{2}$$

$(1)$ puede derivarse de $(2)$ y la relación de conmutación canónica de tiempo igual de los campos.

Sin embargo, $(1)$ no es muy obvio desde el enfoque integral del camino:

$$(\partial^2+m^2)\langle T\{\phi(x)\phi(x')\}\rangle=(\partial^2+m^2)\int\mathcal{D}\phi e^{iS}\phi(x)\phi(x')\\\quad \quad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad =\int\mathcal{D}\phi e^{iS}[(\partial^2+m^2)\phi(x)]\phi(x').\tag{3}$$

Ahora bien, si pensamos formal e ingenuamente

$$\int\mathcal{D}\phi e^{iS}[(\partial^2+m^2)\phi(x)]\phi(x')=\langle T\{[(\partial^2+m^2)\phi(x)]\phi(x')\}\rangle,\tag{4}$$

con la notación $\langle\cdots\rangle$ siempre denota el valor de la expectativa en el enfoque del operador . Entonces el resultado final será 0 (debido a la ecuación de campo) en lugar de $-i\delta^4(x-x')$ y no se puede obtener un resultado como la ecuación(2).

Como ha señalado Drake, esto se debe a la ambigüedad en la definición del producto del operador de tiempo igual cuando la derivada del tiempo está presente en la integral de la trayectoria, es muy importante (por ejemplo CCR en la integral de la trayectoria ) para definir claramente la derivada temporal en el entramado temporal, es decir, la discretización. Hay 3 posibles definiciones de $\dot \phi$ (omitiendo las variables espaciales):

(a)derivado a plazo $$\dot \phi(t)=\frac{\phi(t+\epsilon^+)-\phi(t)}{\epsilon^+};$$

(b)derivada hacia atrás $$\dot \phi(t)=\frac{\phi(t)-\phi(t-\epsilon^+)}{\epsilon^+};$$

(c)derivada centrada $$\dot \phi(t)=\frac{\phi(t+\epsilon^+)-\phi(t-\epsilon^+)}{2\epsilon^+}=\frac{1}{2}(\text{forward}+\text{backward}).$$

Estas diferentes discretizaciones de tiempo conducirán a diferentes ordenamientos de operadores de igual tiempo (véase la respuesta de Ron Maimon en Formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica este post ), respectivamente son:

(a) $$\int\mathcal{D}\phi e^{iS}\dot \phi(t)\phi(t)=\langle \dot \phi(t)\phi(t)\rangle;$$

(b) $$\int\mathcal{D}\phi e^{iS}\dot \phi(t)\phi(t)=\langle \phi(t)\dot \phi(t)\rangle;$$

(c) $$\int\mathcal{D}\phi e^{iS}\dot \phi(t)\phi(t)=\frac{1}{2}[\langle \dot \phi(t)\phi(t)\rangle+\langle \phi(t)\dot \phi(t)\rangle].$$

Teniendo esto en cuenta, ahora podemos obtener la ecuación $(1)$ de la integral de la trayectoria(sólo lo mostraré por el punto de igual tiempo, porque para $t\neq t'$ no hay ninguna incoherencia): primero tomo la definición (c) para $\dot \phi$ , pero define $\ddot\phi$ utilizando la derivada hacia delante (que estoy de acuerdo en que es artificiosa), por lo que tenemos

$$\int\mathcal{D}\phi e^{iS}\ddot \phi(t)\phi(t)\equiv\int\mathcal{D}\phi e^{iS}\frac{1}{\epsilon^+}[\dot \phi(t+\epsilon^+)-\dot \phi(t)]\phi(t) =\frac{1}{\epsilon^+}\{\langle\dot \phi(t+\epsilon^+)\phi(t)\rangle-\frac{1}{2}\langle \dot \phi(t)\phi(t)\rangle-\frac{1}{2}\langle \phi(t)\dot \phi(t)\rangle\}\\ =\frac{1}{\epsilon^+}\{\langle \dot \phi(t+\epsilon^+)\phi(t)\rangle-\langle \dot \phi(t)\phi(t)\rangle+\frac{1}{2}\langle [\dot \phi(t),\phi(t)]\rangle\}\\ =\langle \ddot \phi(t)\phi(t)\rangle+\frac{1}{2\epsilon^+ }\langle[\dot \phi(t),\phi(t)]\rangle=\langle \ddot \phi(t)\phi(t)\rangle+\frac{1}{2\epsilon^+ }\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{x'})\tag{5}$$

Ahora podemos pensar formalmente $\lim_{\epsilon^+\to 0}\frac{1}{2\epsilon^+}=\delta(0)$ porque $\delta (t)= \lim_{\epsilon^+\to 0}\,{1\over 2\epsilon^+}\,e^{-\pi\,t^2/(4\,{\epsilon^+}^2)}$ . Así que $(5)$ se convierte en

$$\int\mathcal{D}\phi e^{iS}\ddot \phi(t)\phi(t)=\langle \ddot \phi(t)\phi(t)\rangle+\delta(0)\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{x'})\tag{6}$$

El resto es trivial, sólo hay que aplicar las derivadas espaciales, añadirlo a $(6)$ y aplicar la ecuación de campo, entonces $(1)$ se reproducirá. La derivación anterior se debe principalmente a Drake, en una forma más organizada.

Ahora está claro que definir cuidadosamente la discretización de la derivada temporal es crucial para obtener el resultado correcto, una discretización incorrecta no nos dará $(1)$ . Sin embargo, la derivación del DSE no hace ninguna referencia a ningún esquema de discretización, pero siempre da un resultado consistente con el enfoque del operador, ¿por qué funciona tan bien?

Muchas gracias a quienes tienen la paciencia de leer todo el post.

ACTUALIZACIÓN: Hace poco tuve la suerte de comunicarme con el profesor Dyson sobre este problema. Su opinión es que ni estas manipulaciones ni la DSE son verdaderas matemáticas, debido a la falta de rigor matemático de la teoría subyacente, por lo que podría haber situaciones en las que la DSE podría fallar también, pero desafortunadamente no pudo proporcionar inmediatamente un ejemplo de este tipo. Aunque no está muy convencido ( en el sentido de que incluso hay un ejemplo de este tipo, sigo pensando que se pueden discernir los "grados de ingenuidad" de los diferentes enfoques, DSE es claramente más sofisticado y potente que una aplicación directa de $\partial^2+m^2$ ), estaría parcialmente satisfecho si alguien puede proporcionar una situación en la que el DSE falle .

Answer 1

TL;DR: La razón principal por la que la derivación ingenua de la integral de la trayectoria de las ecuaciones SD funciona bien más allá de lo que cabría esperar es que ambos conceptos emplean la misma noción subyacente de ordenación del tiempo, a saber, la ordenación covariante del tiempo $T_{\rm cov}$ .

I) En la parte principal de esta respuesta queremos investigar con más detalle algunos aspectos formales de la correspondencia entre

$$ \text{Path integral formalism}\qquad \longleftrightarrow \qquad \text{Operator formalism},\tag{1} $$

en particular la cohabitación de, por un lado las ecuaciones de Schwinger-Dyson (SD), y por otro lado, las ecuaciones de movimiento de Heisenberg (eom). La correspondencia (1) es notoriamente sutil, véase por ejemplo la Ref. 1. y este Post de Phys.SE. Para una teoría general de campos interactivos, ambos lados de la correspondencia integral de trayectoria/operador (1) no suelen estar rigurosamente definidos, cf. por ejemplo la Ref. 1. Ambos lados de la correspondencia pueden, en principio, recibir correcciones cuánticas debido a problemas de ordenación de los operadores. Por lo tanto, es difícil llegar a afirmaciones fiables a este nivel formal.

Para simplificar la discusión y ganar en intuición, vamos a hacer algunas suposiciones.

1. Vamos a considerar gratis (cuadrática) sólo las teorías. El ejemplo de OP está cubierto por esto. Las teorías libres tienen la ventaja de que podemos presentar fórmulas explícitas.

2. Lo más económico es argumentar a través de la Hamiltoniano (a diferencia de la lagrangiana), ya que entonces sólo vamos a tener una (a diferencia de dos) derivadas temporales. Así que eso es lo que vamos a hacer. (También por simplicidad ignoramos los casos con transformaciones de Legendre singulares. Entonces siempre es posible integrar (gaussianamente) los momentos para llegar a la formulación lagrangiana correspondiente, si eso es lo que uno quiere).

3. También tratamos la teoría de campo formalmente como mecánica de puntos. Todas las coordenadas espaciales se suprimen mediante Notación condensada DeWitt . Sólo la variable temporal $t$ se mantiene manifiestamente. Así, nuestras variables son $$ z^I, \qquad I~\in~ \{1, \ldots, 2N\},\tag{2} $$ y dependen del tiempo $t$ , donde $N$ podría ser infinito.

4. También para evitar factores de signo molestos, restringimos la atención a las teorías con sólo Grassmann-incluso variables.

5. Además, suponemos para simplificar (o mediante Teorema de Darboux ) que el corchete de Poisson de igual tiempo es constante y $z$ -independiente $$\begin{align}\omega^{IK} ~=~& \{ z^I(t),z^K(t) \}_{PB}, \cr I,K~\in~&\{1, \ldots, 2N\}. \end{align}\tag{3} $$

Muchos de los supuestos anteriores pueden relajarse, pero no lo discutiremos aquí.

II) Clásicamente, con los supuestos anteriores, la acción hamiltoniana dice

$$ S_H[z;J]~=~ \int dt\ L_H(z(t);\dot{z}(t);J(t)),\tag{4} $$

donde el lagrangiano hamiltoniano es

$$ L_H(z;\dot{z};J)~=~\frac{1}{2} z^I\omega_{IK} \dot{z}^K - H(z,J),\tag{5} $$

y el hamiltoniano es cuadrático

$$ \begin{align} H(z,J)~=~&H_0(z) -J_I z^I, \cr H_0(z)~:=~& \frac{1}{2} z^I h_{IK} z^K. \end{align}\tag{6} $$

Las derivadas de Euler-Lagrange (con un índice elevado por la métrica simpléctica $\omega^{IL}$ ) corresponden a la eom de Hamilton

$$\begin{align} 0~\approx~&\omega^{IK}\frac{\delta S_H[z;J]}{\delta z^K(t)}\cr ~=~&\dot{z}^I(t) - \{z^I(t),H(z(t),J(t))\}_{PB} \cr ~=~&\left(\delta^I_K\frac{d}{dt}- h^I{}_K\right)z^K(t) + \omega^{IK} J_K(t). \end{align}\tag{7} $$

(Aquí el $\approx$ signo significa la igualdad modulando las ecuaciones clásicas del movimiento). También hemos definido la matriz

$$ h^I{}_L~:=~\omega^{IK} h_{KL}. \tag{8} $$

En el formalismo de operadores correspondiente, el eom de Hamilton (7) se convierte en el eom de Heisenberg, que es una identidad de operador.

III) El Hessian lee

$$ \begin{align} {\cal H}_{IK}(t,t^{\prime})~:=~&\frac{\delta^2 S_H[z;J]}{\delta z^I(t)\delta z^K(t^{\prime})} \cr ~=~&\omega_{IK}\delta^{\prime}(t-t^{\prime}) -h_{IK}\delta(t-t^{\prime})\cr ~=~&\omega_{IL}\left(\delta^L_K\frac{d}{dt}- h^L{}_K\right)\delta(t-t^{\prime}).\end{align}\tag{9} $$

La función de Green correspondiente $G={\cal H}^{-1}$ es la inversa del hessiano (9):

$$ G^{IK}(t,t^{\prime})~=~\frac{1}{2} {\rm sgn}(t-t^{\prime})\left(e^{(t-t^{\prime})h}\right)^I{}_L ~\omega^{LK}, \tag{10} $$

$$ \left(\delta^I_L\frac{d}{dt}- h^I{}_L\right)G^{LK}(t,t^{\prime})~=~\omega^{IK}\delta(t-t^{\prime}). \tag{11} $$

IV) Definimos la función de partición

$$\begin{align} &Z[J]\cr ~:=~ &\int\![dz] e^{\frac{i}{\hbar}S_H[z;J]} \cr ~=~& e^{\frac{i}{\hbar}W_c[J]} \cr ~=~& \int\![dz] \exp\left[\frac{i}{2\hbar}\iint \! dt~dt^{\prime}~z^I(t) ~{\cal H}_{IK}(t,t^{\prime})~ z^K(t^{\prime}) + \frac{i}{\hbar}\int \! dt~J_I(t) z^I(t)\right] \cr ~=~& Z[0]\exp\left[-\frac{i}{2\hbar} \iint \! dt~dt^{\prime}~J_I(t) ~G^{IK}(t,t^{\prime})~ J_K(t^{\prime})\right] ,\end{align}\tag{12} $$

y el generador de diagramas de Feynman conectados

$$\begin{align} W_c[J]~:=~&\frac{\hbar}{i}\ln Z[J]\cr ~=~& W_c[0]- \frac{1}{2} \iint \! dt~dt^{\prime}~J_I(t) ~G^{IK}(t,t^{\prime})~ J_K(t^{\prime}) \end{align} ,\tag{13} $$

cuya forma explícita se deduce de la integración gaussiana. El valor medio/de expectativa cuántico en el Imagen de Heisenberg se define como

$$\begin{align}\left< T_{\rm cov}\{F[\widehat{z}]\} \right>_J ~=~& \frac{1}{Z[J]}\int\![dz]~F[z]~e^{\frac{i}{\hbar}S_H[z;J]}\cr ~=~&\frac{1}{Z[J]} F\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J} \right] Z[J] .\end{align}\tag{14} $$

Aquí $T_{\rm cov}$ es la ordenación temporal covariante, es decir, las diferenciaciones temporales dentro de su argumento deben tomarse después/fuera el pedido de tiempo habitual $T$ . Aquí la ordenación del tiempo $T$ se define como

$$\begin{align}T\left\{\widehat{A}(t)\widehat{B}(t^{\prime})\right\}~:=~& \theta(t-t^{\prime})\widehat{A}(t)\widehat{B}(t^{\prime})\cr &+\theta(t^{\prime}-t)\widehat{B}(t^{\prime})\widehat{A}(t). \end{align}\tag{15} $$

Es crucial que la diferenciación temporal y la ordenación del tiempo hagan no de viaje:

$$\begin{align}T_{\rm cov}&\left\{\frac{d\widehat{A}(t)}{dt}\widehat{B}(t^{\prime})\right\} \cr ~:=~&\frac{d}{dt}T\left\{\widehat{A}(t)\widehat{B}(t^{\prime})\right\}\cr ~=~& T\left\{\frac{d\widehat{A}(t)}{dt}\widehat{B}(t^{\prime})\right\}+\delta(t-t^{\prime})[\widehat{A}(t),\widehat{B}(t^{\prime})], \end{align}\tag{16}$$

sino que dan lugar a términos conmutadores (de contacto) de igual tiempo.

Es importante darse cuenta de que las derivadas temporales dentro del factor de Boltzmann $e^{\frac{i}{\hbar}S_H[z;J]}$ en la integral de la trayectoria debe respetar el procedimiento subyacente de corte de tiempo. Véase, por ejemplo este y este Respuesta de Phys.SE. Esto induce el ordenamiento temporal covariante $T_{\rm cov}$ en la ecuación (14).

La función de 1 punto dice

$$\begin{align} \left< \widehat{z}^I(t)\right>_J ~=~& \frac{\delta W_c[J]}{\delta J_I(t)}\cr ~=~& -\int \!dt^{\prime} ~G^{IK}(t,t^{\prime})~J_K(t^{\prime}), \end{align}\tag{17} $$

mientras que la función de 2 puntos ordenada en el tiempo dice

$$\begin{align} &\left< T_{\rm cov}\{ \widehat{z}^I(t)\widehat{z}^K(t^{\prime}) \}\right>_J\cr ~=~& -\frac{\hbar^2}{Z[J]} \frac{\delta^2 Z[J]}{\delta J_I(t)\delta J_K(t^{\prime})}\cr ~=~&\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_I(t)}\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_K(t^{\prime})}+\frac{\hbar}{i}\frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_I(t)\delta J_K(t^{\prime})}\cr ~=~&\left< \widehat{z}^I(t)\right>_J \left< \widehat{z}^K(t^{\prime})\right>_J +i\hbar G^{IK}(t,t^{\prime}). \end{align}\tag{18}$$

La función de 2 puntos correspondiente sin ordenación del tiempo lee:

$$\begin{align} \left< \widehat{z}^I(t)\widehat{z}^K(t^{\prime}) \right>_J ~=~&\left< \widehat{z}^I(t)\right>_J \left< \widehat{z}^K(t^{\prime})\right>_J\cr &+\frac{i\hbar}{2} \left(e^{(t-t^{\prime})h}\right)^I{}_L ~\omega^{LK}.\end{align} \tag{19} $$

V) El Ecuaciones de Schwinger-Dyson (SD) leer

$$ i\hbar\left< T_{\rm cov}\left\{\frac{\delta F[\widehat{z}]}{\delta z^I(t)} \right\}\right>_J ~=~\left< T_{\rm cov}\left\{ F[\widehat{z}]\frac{\delta S_H[\widehat{z};J]}{\delta z^I(t)}\right\}\right>_J.\tag{20} $$

Las ecuaciones SD (20) se escriben aquí formalmente en el lenguaje de los operadores, pero su justificación es más fácil a través del formalismo de la integral de la trayectoria, cf. por ejemplo este Puesto de Phys.SE. Las ecuaciones SD (20) reflejan simplemente el hecho de que la integral de trayectoria de una derivada total desaparece si las contribuciones de frontera son nulas

$$ 0~=~\int [dz]\frac{\delta}{\delta z^I(t)}\left\{F[z] e^{\frac{i}{\hbar}S_H[z;J]}\right\}, \tag{21} $$

Véase. este Puesto de Phys.SE.

VI) Ingenuamente, el lado derecho de la ecuación SD (20) es proporcional al eom de Heisenberg (7), que es una expresión de operador que desaparece idénticamente, así que ¿por qué entonces hay una corrección cuántica no nula en el lado izquierdo de la ecuación SD (20)? La resolución de esta aparente paradoja se esconde en el hecho de que la diferenciación temporal y el ordenamiento temporal no se conmutan, cf. ec. (16). Para ver cómo funciona esto, elijamos para simplificar el funcional $F[z]=z^{K}(t^{\prime})$ de una sola variable. (En ese caso basta con utilizar el corchete de Poisson en lugar del de Moyal-Groenewold $\star$ -producto). Después de elevar un índice por la métrica simpléctica $\omega^{IL}$ las ecuaciones SD (20) se convierten en

$$\begin{align} i\hbar\omega^{IK} &\delta(t-t^{\prime}) \cr ~\stackrel{(20)}{=}&\left< T_{\rm cov}\left\{\omega^{IL}\frac{\delta S_H[\widehat{z};J]}{\delta z^L(t)}\widehat{z}^K(t^{\prime})\right\} \right>_J\cr ~\stackrel{(7)}{=}~&\left< \frac{d}{dt}T\left\{\widehat{z}^I(t) \widehat{z}^K(t^{\prime})\right\}\right>_J \cr &- \left< T\left\{\{\widehat{z}^I(t),H(\widehat{z}(t),J(t))\}_{PB} \widehat{z}^K(t^{\prime})\right\}\right>_J\cr ~=~&\left(\delta^I_L\frac{d}{dt}- h^I{}_L\right)\left< T\left\{\widehat{z}^L(t) \widehat{z}^K(t^{\prime})\right\}\right>_J \cr &+\omega^{IL} J_L(t)\left< \widehat{z}^K(t^{\prime})\right>_J \cr ~\stackrel{(16)}{=}& i\hbar\omega^{IK} \delta(t-t^{\prime}) \cr &+\left< T\left\{ \underbrace{\left(\frac{d\widehat{z}^I(t)}{dt} - \{\widehat{z}^I(t),H(\widehat{z}(t),J(t))\}_{PB} \right)}_{=0}\widehat{z}^K(t^{\prime})\right\}\right>_J\cr ~\stackrel{(7)}{=}~&i\hbar\omega^{IK} \delta(t-t^{\prime}).\end{align}\tag{22} $$

La ecuación (22) muestra cómo pueden coexistir las ecuaciones SD (20) y eom (7) de Heisenberg.

Referencias:

1. F. Bastianelli y P. van Nieuwenhuizen, Integrales de trayectoria y anomalías en el espacio curvo, 2006.