Supongamos que tenemos una arbitraria probabilidad de espacio $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ y una secuencia de variables aleatorias $X_n:\Omega\to\mathbb{R}$ de manera tal que el pushforward medidas de $(X_n)_*(\mathbb{P})$ converge débilmente a una probabilidad $\tilde{\mathbb{P}}$.
Podemos siempre construir una variable aleatoria $X:\Omega\to\mathbb{R}$ tal que $\tilde{\mathbb{P}}=X_*(\mathbb{P})$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si no me equivoco, una variable aleatoria debe existir siempre.
Deje $[-\infty,+\infty]$ el conjunto de los números reales, junto con los dos infinitos $\pm\infty$ en el orden de la topología y con la Borel $\sigma$-álgebra. A lo largo de esta prueba, las variables aleatorias podrá tomar valores en $[\infty,+\infty]$.
Terminología: Supongamos que para cada $n\ge 1$, $\pi_n$ es una partición de un conjunto conjunto fijo $V$. Decimos que $\pi_n$ es un "cada vez más fina" de la secuencia de iff $\pi_{n+1}$ es más fino que el de $\pi_n$ todos los $n$.
Recordemos la propuesta de proposición: Supongamos $(\Omega,\Sigma,\mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad, $X_n$ es una secuencia de variables aleatorias, la función de distribución acumulativa de $X_n$$F_n$, e $F$ es una cierta función de distribución acumulativa tal que $F_n \to F$. (Que es, en cada punto de continuidad de la $x$ de $F$, $\lim_{n\to \infty} F_n(x) = F(x)$.)
La reclamación No es una variable aleatoria $X$ en el mismo espacio de probabilidad $(\Omega,\Sigma,\mathbb{P})$ con función de distribución acumulativa $F$.
Prueba
Para cada entero $n\ge 1$, vamos a $\mathcal{I}_n$ ser finito, partición de $[-\infty,+\infty]$ que consta de el conjunto $[-\infty,-n)$, la $[n,+\infty]$, y el conjunto de $\left[i/2^n,(i+1)/2^n\right)$ para cada entero $i\in [- 2^n n , 2^n n - 1]$. A grandes rasgos, esta es sólo una secuencia de cada vez más fino finito particiones que se convierte arbitrariamente bien a cualquier número real fijo.
Para cada entero $n \ge 1$, vamos a $\mathcal{P}_n$ ser finito, partición de $\Omega$ consta de conjuntos de la forma $X_1^{-1}(I_1)\cap \ldots \cap X_n^{-1}(I_n)$ donde $I_1\in\mathcal{I}_1,\ldots,I_n\in\mathcal{I}_n$. Observar que $\mathcal{P}_n$ es una secuencia de cada vez más fino particiones de $\Omega$, cada una de las $\mathcal{P}_n$ es finito, y cualquier $P\in\mathcal{P}_n$ es medible.
Vamos a considerar el "límite" $\mathcal{P}$ de la secuencia de $\mathcal{P}_n$, que es el más áspero de la partición de $\Omega$ que es más fino que el de cualquier $\mathcal{P}_n$. La familia $\mathcal{P}$ se compone de todos los no-vacía de conjuntos de la forma $$ (1) \ \ \ \ bigcap_{n\ge 1} P_n $$ para algunos secuencia $P_n$ donde $P_n\in\mathcal{P}_n$ todos los $n$. Es decir, $$ \mathcal{P} = \left\{ \bigcap_{n\ge 1} P_n : P_n\in\mathcal{P}_n \mbox{ para todo } n \right\}\setminus\{\emptyset\}. $$
Ahora vamos a $\mathcal{A}$ consisten en conjuntos en $\mathcal{P}$ con medida positiva: $$ \mathcal{A} = \{P\in\mathcal{P}: \mathbb{P}(P) > 0\}. $$ A grandes rasgos, la pone en $\mathcal{A}$ son "átomos": en ninguna parte en esta prueba vamos a encontrar un subconjunto no vacío de un átomo. El número de átomos deben estar contables (de lo contrario, tendríamos medida infinita), así que vamos a escribir $$ \mathcal{A} = \{A_1, A_2,\ldots\}. $$
A continuación, defina $A$ $S$ $$ A = \bigcup_{n\ge 1} A_n $$ y $$ S = \Omega \setminus A. $$ $A$ $S$ son medibles. Básicamente, cualquier variable aleatoria en $(\Omega,\Sigma,\mathbb{P})$ puede ser continua en $S$ pero $A$ será responsable de los saltos en la RV del cdf.
Para cada una de las $n\ge 1$, la construcción de la partición $\mathcal{S}_n$ $S$ definido por $$ \mathcal{S}_n = \{ S \cap P : P\in \mathcal{P}_n \}. $$ Observe $\mathcal{S}_n$ es una secuencia de cada vez más fino finito particiones de $S$. También, para cualquier secuencia $S_n$$S_n\in\mathcal{S}_n$, $$ ( * ) \ \ \ \ \ mathbb{P}\left(\bigcap_{n\ge 1} S_n \right) = 0. $$ Este es un hecho clave que se utiliza por debajo. Para demostrarlo, nota $$ \mathbb{P}\left(\bigcap_{n\ge 1} S_n \right) = \mathbb{P}\left(S\cap \bigcap_{n\ge 1} P_n \right) $$ para algunos secuencia $P_n\in\mathcal{n}$. Si $\mathbb{P}\left(\bigcup_{n\ge 1} P_n\right) = 0$, $(*)$ obviamente tiene. Si $\bigcup_{n\ge 1} P_n$ tiene probabilidad positiva, entonces debe de ser $A_k$ algunos $k$, por definición. Pero $S \cap A_k=\emptyset$, lo $(*)$ tiene de nuevo.
Ahora que algunas construcciones básicas y la notación están en su lugar, vamos a empezar a probar cosas!
Lema 1. Para cualquier $A_k$, hay un $\alpha_k\in [-\infty,+\infty]$ y una larga $X_{m_1},X_{m_2},\ldots$ de la secuencia de $X_1,X_2,\ldots$ tal que $$ \lim_{n\to \infty} X_{m_n}(\omega) = \alpha_k \mbox{ para todo } \omega\en A_k. $$
Prueba. Fix $A_k$ y elija una sola $x_n\in X_n(A_k)$ por cada $n$. Desde $[-\infty,+\infty]$ es compacto, la secuencia de $x_1,x_2,\ldots$ debe tener un punto límite $\alpha_k$$[-\infty,+\infty]$. Por lo tanto, hay una larga $x_{m_1}, x_{m_2},\ldots$ tal que $$ (2)\ \ \lim_{i\to\infty} x_{m_i} = \alpha_k. $$ El recuerdo de $(1)$ que hay conjuntos de $I_1\in\mathcal{I}_1,I_2\in\mathcal{I}_2,\ldots$ tal que $$ A_k = \bigcap_{n\ge 1} X_n^{-1}(I_n), $$ por lo $x_n\in X_n(A_k)\subset I_n$ todos los $n$. Supongamos $\alpha_k$ es real y corregir algunas $\omega\in A_k$. Por $(2)$, y la construcción de conjuntos en $\mathcal{I}_n$, no tiene que ser un $N$ tal que $I_n$ es un intervalo de longitud de $2^{-n}$ todos los $n>N$. Por lo tanto, $$ |X_{m_n}(\omega) - x_{m_n}| \le 2^{-m_n} $$ para $n$ lo suficientemente grande. A la luz de este hecho y (2), se ha $X_{m_n}(\omega) \to \alpha_k$. Un argumento similar muestra el límite mismo vale si $\alpha_k\in\{\pm\infty\}$.
Lema 2. Hay constantes $\alpha_k\in[-\infty,+\infty]$ $k\ge 1$ y una larga $X_{m_1},X_{m_2},\ldots$ $X_1,X_2,\ldots$ tal que para todos los $k$, $$ \lim_{n\to\infty} X_{m_n}(\omega) = \alpha_k \mbox{ para todo } \omega\en A_k. $$
Prueba Usar el anterior lema y un argumento de diagonalización. Primero elige un subsequence $X_{11}, X_{12},\ldots$ $X_1,X_2,\ldots$ tal que $X_{1n}(\omega)\to\alpha_1$ algunos $\alpha_1$ y todos los $\omega\in A_1$. A continuación, elija una larga $X_{11}, X_{22}, X_{23}, \ldots$ $X_{11},X_{12},\ldots$ tal que $X_{2n}(\omega)\to\alpha_2$ algunos $\alpha_2$ y todos los $\omega\in A_2$. En la etapa de $k$, elija una larga $X_{11}, X_{22},\ldots, X_{kk},X_{k,k+1},\ldots$ tal que $X_{kn}(\omega)\to \alpha_k$ todos los $\omega\in A_k$. El subsequence $X_{11},X_{22},X_{33},\ldots$ está bien definido y tiene la propiedad deseada.
Importante a partir De ahora, vamos a suponer sin pérdida de generalidad que para todos los $k$, $$ (3) \ \ \ \ \ \ lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = \alpha_k \mbox{ para todo } \omega\en A_k. $$
Ahora vamos a comenzar a construir una variable aleatoria $X$ con función de distribución acumulativa $F$. Para ello, en primer lugar, defina las siguientes funciones: \begin{equation} (4) \ \ \ F_A(t) = \sum_{n\ge 1,\ \ \alpha_n \le t} \alpha_n \\ (5) \ \ \ F_S(t) = F(t) - F_A(t) \end{equation} para todos los $t\in[-\infty,+\infty]$. Vamos a construir variables aleatorias $X_A$ $X_S$ tal que $$ (6) \ \ \ \ \ mathbb{P}(A \cap X_A \le t) = F_A(t) \\ (7) \ \ \ \ \ mathbb{P}(S \cap X_S \le t) = F_S(t). $$ En ese momento, la prueba será completa, ya que podemos dejar a $X = 1_A X_A + 1_S X_S$. La distribución acumulativa la función de $X$ entonces se $F_A + F_S = F$.
Deje $X_A$ ser una variable aleatoria con \begin{equation} X_A(\omega) = \alpha_k \mbox{ for all } k \mbox{ and for all } \omega\in A_k. \end{equation} El valor de $X_A$ $S$ es poco importante. Uno puede establecer $X_A(S) = 0$, dicen, para garantizar la $X_A$ es medible.
Por la construcción de $X_A$, condición de $(6)$ mantiene. Ahora considere el $X_S$.
Lema 3 $F_S$ va en aumento, a la derecha continua, $F_S(-\infty) \ge 0$, e $F_S(\infty) = \mathbb{P}(S) $.
Prueba Por definición de $F_S$ y $F_A$, $F_S(-\infty) = 0$ y $F_S(+\infty) = \mathbb{P}(S)$. Considere la posibilidad de $F(t)$. Desde $X_n$ converge en distribución a la función de distribución acumulativa $F$, podemos escribir $$ F(t) = \lim_{\epsilon\downarrow 0}\liminf_n \mathbb{P}(X_n \le t+\epsilon). $$ (Me pregunta por qué si no estás seguro.) A continuación, podemos escribir $$ F(t) = \lim_{\epsilon\downarrow 0}\liminf_n \mathbb{P}(A \cap X_n\le t+\epsilon) + \lim_{\epsilon\downarrow 0}\liminf_n \mathbb{P}(S \cap X_n\le t+\epsilon). $$ Por $(3)$$(4)$, el primer término es exactamente $F_A(t)$. Por lo tanto, $$ F_S(t) = \lim_{\epsilon\downarrow 0}\liminf_n \mathbb{P}(S \cap X_n\le t+\epsilon). $$ Esta función es, obviamente, el aumento de derecha y continua.
Voy a utilizar el siguiente Lema, que en realidad es bastante fácil de probar por la construcción directa. La prueba es un poco demasiado tedioso para mí, para incluir aquí. Si necesita más información, hágamelo saber.
Lema 4 Supongamos $U\subset\Omega$ es medible y $\pi_1,\pi_2,\ldots$ es una secuencia de cada vez más fino finito particiones de $U$. Supongamos que para cada una de las $\epsilon>0$, hay un $n$ tal que $\mathbb{P}(B)<\epsilon$ todos los $B\in\pi_n$. Supongamos $F:[-\infty,+\infty]\to[0,1]$ va en aumento, a la derecha continua, y $F(+\infty)=\mathbb{P}(U)$. Entonces no es una variable aleatoria $X$ $(\Omega,\Sigma,\mathbb{P})$ tal que $\mathbb{P}(U \cap X\le t) = F(t)$ todos los $t\in[-\infty,+\infty]$.
Ahora aplicar el Lema de 4 a construir $X_S$:
Lema 5 No es una variable aleatoria $X_S$ tal que $(7)$ mantiene, es decir, $\mathbb{P}(S \cap X_S \le t) = F_S(t)$.
La prueba se aplicará Lema 4, con el set de $S$, la secuencia de particiones $\mathcal{S}_n$, y la función de $F_S$. Por el Lema 3, las condiciones en las $F_S$ requerido por el Lema 4 se cumplen. Ya hemos observado $\mathcal{S}_n$ es una secuencia de cada vez más fino finito particiones. Sólo queda probar que para cualquier $\epsilon>0$, hay un $n$ tal que $\mathbb{P}(B)<\epsilon$ todos los $B\in\mathcal{S_n}$.
Fix $\epsilon>0$. Para cada una de las $B\in\mathcal{S}_n$, vamos a $c(B)$ representan el número de elementos del conjunto $$ \{B'\in\mathcal{S}_{n+p} : B' \subconjunto B,\ \ \mathbb{P}(B')>\epsilon, \ \ \ \ p\ge 0\}. $$ De manera informal, $c(B)$ es el número de elementos "de abajo" $B$ en la secuencia de particiones $\mathcal{S}_n$ con una probabilidad superior al $\epsilon$. Observe $c(B)=0$ si y sólo si $\mathbb{P}(B)\le\epsilon$. También, para cualquier conjunto $B\in\mathcal{S}_n$ si $\mathbb{P}(B) > \epsilon$, luego $$ (8)\ \ \ c(B) = 1 + \sum_{B'\in\mathcal{S}_{n+1},\ \ B'\subconjunto B} c(B'). $$
Corregir algunos $B_0\in\mathcal{n}$ y supongamos $c(B_0)=+\infty$. Por $(8)$, hay un $B_1\in\mathcal{S}_{n+1}$$B_1\subset B_0$$c(B_1)=+\infty$. De continuar este proceso, vemos que hay una secuencia $B_0 \supset B_1 \supset B_2 \supset\cdots$ tal que $B_p\in\mathcal{S}_{n+p}$ $\mathbb{P}(B_p) > \epsilon$ todos los $p\ge 0$. Pero, a continuación, $$ \mathbb{P}\left(\bigcap_{p\ge 0} B_{n+p}\right) \ge \epsilon > 0. $$ Esto contradice $(*)$. Por lo tanto, $c(B)$ es finita para todas las $B\in \mathcal{S}_n$. Por $(8)$, está claro que hay un $n$ $c(B)=0$ todos los $B\in\mathcal{S}_n$. Esto demuestra el resultado.
