Es un estándar de ejercicio en la geometría diferencial para demostrar que un conectada suma $M\#N$ de dos liso colectores $M,N$ de la misma dimensión está definida de forma única (bajo algunos supuestos acerca de la orientación). En la prueba que uno necesita para mostrar que $M\#N$ no dependen de:
- la elección de bolas (gráfico mapas) alrededor de puntos fijos $(m,n)\in M\times N$ (suponiendo que los mapas en comparación inducir el mismo local de orientación cerca de $m$ o $n$),
- la elección de los puntos.
Puedo probar la primera suave de los colectores (para dos barrios de $m\in M$, elijo un pequeño barrio que se parece a una pelota en ambos gráficos, y veo que la reclamación es trivial para las bolas). La segunda sigue a partir de la homogeneidad de ambos: topológicos y suave de los colectores.
Mi pregunta es: Demostrar o refutar el primer punto para topológica de los colectores. Si es necesario, se puede suponer que orientability, pero el buen caso da esperanza de que la reclamación puede ser cierto también para los no-orientable colectores.
Aclaraciones técnicas: Por el bien de esta pregunta, "la" definición de $M\#N$ es como sigue. Tome $(m,n)\in M\times N$ gráfico y mapas establecimiento de homeo/diffeo de los barrios de $m,n$ con abrir las bolas. A continuación, canónicamente identificar el perforado de bolas con cilindros y la cola de los cilindros de revertir la coordenada vertical: $$B\setminus \{m\} \simeq S^{n-1}\times (0,1)\owns(s,t) \mapsto (s,1-t) \in S^{n-1}\times (0,1) \simeq B'\setminus \{n\}.$$ Para evitar problemas, podemos suponer que el gráfico de mapas puede ser extendido a más bolas.
P. S. Algunas dudas relacionadas con la Actualización: Mi anterior duda resuelta gracias a la discusión en los comentarios:
-
por qué wikipedia necesidades (tenga en cuenta que la definición de conexión de la suma en la wiki es ligeramente diferente que el mío):
- orientado a los colectores (en ambos casos, si he entendido bien). Se resuelve: Gracias a George Lowther comentario ya sé que el conectado suma depende de la orientación de las esferas/cilindros de pegado (que me perdí en mi prueba previamente).
- y por qué se menciona algunos "canónica pegado" como necesario para la singularidad (en el buen caso)? Resuelto: como studiosus estados en los comentarios, la cosa es que la wikipedia permite feo diffeomorphisms de esferas que no se puede extender a la totalidad del disco, que no es el caso en esta pregunta,
wikipedia reclamos de que la respuesta sea afirmativa "crucial" por el disco teorema, sin embargo, el artículo citado se encarga de la caja del diferencial. Resuelto: El disco teorema es falso para la topológico caso, porque la suma de Alexander cuernos de la esfera y de la limitada componente de su complemento es homeo con el disco, mientras que la componente no acotada no es homeo con complemento de la unidad de disco en $\mathbb R^3$.
