¿Se puede anular un término si es igual a cero?

Question

Una pregunta rápida aquí:

En mi clase de pruebas tuvimos un problema que después de un poco de trabajo terminamos con: $x(x-y)=(x+y)(x-y)$ donde $ x = y $ . Ahora, sé que esto es bastante básico, pero mi profesor dijo que para el siguiente paso, uno no puede cancelar $(x-y)$ de ambos lados como $(x-y) = 0 $ . ¿Puede alguien explicar la lógica y/o el razonamiento que hay detrás de esto?

Estoy bastante seguro de que esto entra en alguna oscura regla de álgebra básica que he olvidado a lo largo de los años, pero no puedo encontrar nada sobre esto en Internet.

Editar:

Para aclarar algunas confusiones aquí, no estoy buscando cómo para resolver este problema, sino que el por qué esta regla en particular es así.

El problema en el que estoy trabajando da una prueba. Se supone que debo marcar los errores en la prueba. Para este problema, el error fue que se anularon $(x-y)$ y estoy tratando de entender por qué es un error.

Answer 1

Como profesor, preferiría instar a mis alumnos a erradicar la palabra "cancelar" de su vocabulario y el supuesto proceso de cancelación de su técnica. Lo que podemos hacer es multiplicar ambos lados de una ecuación por un número cualquiera, sabiendo que la igualdad se mantendrá. En el ejemplo, se trata de multiplicar por $1/0$ no un número.

Answer 2

Anulación $(x-y)$ se hace dividiendo a través de la ecuación por $(x-y)$ (en ambos lados), y como no podemos dividir por $0$ (asumo que lo sabes), no podemos cancelar $(x-y)$ cuando es $0$ .

Debería añadir un pequeño ejemplo. Consideremos la siguiente ecuación, y queremos encontrar las soluciones reales $x$ : $$x^2=3x $$ Ahora sería inteligente cancelar $x$ de cada lado, pero dividiendo con $x$ asume que $x\neq 0$ Por lo tanto, tenemos que comprobar esa posibilidad por separado. Suponiendo que $x\neq0$ la ecuación se simplifica a \begin{align} \frac{x^2}{x} &=\frac{3x}{x}\\ x &= 3 \end{align} Así que una solución es $x=3$ pero hasta ahora hemos asumido que $x\neq 0$ Así que vamos a comprobar la posibilidad de que $x=0$ : \begin{align} 0^2 &= 3\cdot 0\\ 0 &= 0 \end{align} lo cual es cierto, por lo que las soluciones de esta ecuación son $x=3$ y $x=0$ .

Answer 3

Parece que la "prueba" que te pidieron fue una variación de lo siguiente:

$$ \begin{align} a^2 - a^2 & = a^2 - a^2 \tag{1} \\ a \cdot (a-a) & = (a+a) \cdot (a-a) \tag{2} \\ a & = a+a \tag{3} \\ a & = 2a \tag{4} \\ 1 & \overset{?}{=} 2 \tag{5} \\ \end{align} $$

Mi abuelo, profesor de matemáticas, lo contaba como una broma. Recuerdo haber confundido al menos a uno de mis profesores de matemáticas con ella (sí, Lo sé. ).

El problema es que llamarlo "cancelar esconde lo que realmente está pasando. No estás cancelando nada, estás multiplicando o dividiendo .

Para llegar a $(3)$ de $(2)$ se supone que debes "cancelar $(a-a)$ . Pero es no cancelar, es dividiendo ¡! Y dividiendo por $(a-a)$ es dividir por $0$ que, como todos sabemos, no es bueno. Tenía $(2)$ leer $a\cdot0 = (a+a)\cdot0$ no habrías soñado con "cancelar" el $0$ .

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Por cierto, el paso de $(4)$ a $(5)$ tampoco es correcto, ya que estás despreciando la posibilidad de que $a$ - que estás dividiendo por - podría ser $0$ . Pero para entonces ya estás tan metido en la madriguera del conejo que probablemente no te darás cuenta.

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Como nota, otra divertida "cancelación" no válida $$\require{cancel} \frac{16}{64} = \frac{1\cancel{6}}{\cancel{6}4} = \frac{1}{4} $$

Answer 4

La "anulación" es un procedimiento abreviado que sólo funciona en determinadas circunstancias.

Si tenemos $ac = bc$ podemos reordenar para obtener $(a-b)c = 0$ . Si tenemos un producto de dos números que es $0$ entonces uno o el otro (o ambos) debe ser $0$ . Por lo tanto, si sabemos $c \neq 0$ , entonces debemos tener $a-b = 0$ o $a = b$ .

Ese proceso se simplifica como "anulación", y se basa en saber que $c \neq 0$ . Por eso no se puede anular un término que sea (o pueda ser) $0$ .

Intuitivamente, sabemos que $a\times 0 = 0 = b \times 0$ independientemente de los valores de $a$ y $b$ por lo que sería inapropiado concluir que $a\times 0 = b \times 0$ implica $a = b$ .

Answer 5

Cuando dividimos una ecuación de la forma $ac = bc$ por $c$ estamos multiplicando por la inversa multiplicativa de $c$ .

\begin{align*} ac & = bc\\ acc^{-1} & = bcc^{-1}\\ a & = b \end{align*}

Un número real $c$ tiene una inversa multiplicativa si existe un número real $d$ tal que $cd = dc = 1$ . No existe tal número si $c = 0$ desde $0 \cdot x = 0 \neq 1$ para cada número real $x$ .

Por lo tanto, en su ejemplo, no podemos multiplicar ambos lados de la ecuación

$$x(x - y) = (x + y)(x - y)$$

por $(x - y)^{-1}$ desde $x - y = 0$ y $0$ no tiene un inverso multiplicativo.