¿Finitud de $\lim_{x\to\infty}f(x)$ $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ implican $\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$?

Question

Suponga que $f:{\bf R}\to{\bf R}$ es diferenciable en a ${\bf R}$, y tanto de $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ $\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)$ son finitos. Geométricamente, uno puede tener $$\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$$ Aquí está mi pregunta:

¿Cómo se puede demostrar?

Por definición, es suficiente para mostrar que

$$\lim_{x\to\infty}\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$$

es decir,$$\forall \epsilon>0~\exists M>0\quad \textrm{s.t.}\quad x>M\Rightarrow \left|\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|<\epsilon$$ For large enough $ M$ and small enough $\epsilon$, uno tiene $$|f(x+h)-f(x)|<\tilde{\epsilon}$$ Pero no tengo idea de cómo continuar.

Answer 1

Usted está asumiendo que el límite de la derivada existe. Dicen $$\lim_{x\to\infty}f'(x) = L.$$

Caso 1. $L\gt 0$. Entonces existe $M\gt 0$ tal que para todo $x\geq M$, $|f'(x) - L|\lt \frac{L}{2}$. Por lo tanto, para todos los $x\geq M$, $$\frac{L}{2} \lt f'(x) \lt \frac{3L}{2}.$$ En particular, $f$ es el aumento en $[M,\infty)$.

Por el Valor medio Teorema, para cada número natural $n$ existe un $c$ (que depende de la $n$), $M+n \lt c\lt M+n+1$ tal que $$f(M+n+1)-f(M+n) = \frac{f'(c)}{(M+n+1)-(M-n)} = f'(c) \geq \frac{L}{2}.$$ Inductivamente, llegamos a la conclusión de que $$f(M+n)\geq f(M)+\frac{Ln}{2}.$$ Pero como $n\to\infty$, $f(M)+\frac{Ln}{2}\to \infty$; por lo tanto $f(x)\to\infty$$x\to\infty$, que contradice nuestra suposición de que $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ es finito.

Caso 2. $L\lt 0$; un argumento similar muestra que $f(x)\to-\infty$ $x\to\infty$ en este caso.

Por lo tanto, la única posibilidad restante es $L=0$, como se desee.

Answer 2

El truco para conseguir la información geométrica de la derivada es el valor medio teorema. Un corolario de la MVT es que, si $m\leq f'(x)\leq M$ todos los $x\in [a,b]$,$m(b-a)\leq f(b)-f(a) \leq M(b-a)$.

Así que vamos a proceder a la prueba de la el problema.

Restando fuera una constante, podemos suponer $\lim f(x)=0$. Deje $\lim f'(x)=L$. Suponga $L\neq 0$. Sin pérdida de generalidad, $L>0$ $N$ lo suficientemente grande, tenemos que $x>N$ implica que el$|f(x)|<1$$L/2<f'(x)<3L/2$.

Si $N<a<b$$b-a>4/L$,$f(b)-f(a) > L/2(b-a)> L/2(4/L)=2$, lo cual es imposible.

Answer 3

Este es un relativamente viejo post, pero interesante tema, así que me dije voy a publicar otra solución, también se basa en el teorema del valor medio http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem. Aquí vamos:

$f(x)$ es una primitiva de $f'(x)$, el uso de http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus $\int_{M}^{M+r}f'(x)dx=f(M+r)-f(M)$ $\forall M\in \mathbb{R}, \forall r>0$

También (utilizando el valor de la media th), $\exists \xi (M)\in \left [ M,M+r \right ]$ tal que $\int_{M}^{M+r}f'(x)dx=f'(\xi (M))\left ( M+r-M \right )=f'(\xi (M))\cdot r$

Por lo $f(M+r)-f(M)=f'(\xi (M))\cdot r$.

Ahora, si $M \to \infty $ $\xi (M) \to \infty $ $r$ es const. Como resultado: $0=\lim_{M \to \infty }\left [f(M+r)-f(M) \right ]=\lim_{M \to \infty }f'(\xi (M))\cdot r$ $\Rightarrow \lim_{M \to \infty }f'(\xi (M))=0$

Debido a $\lim_{x \to \infty }f'(x)$ es finito, entonces debe ser 0.