Mostrar que $\,\,n!<\mathrm{e}\left(\frac{n}{2}\right)^n$

Question

Me gustaría demostrar que $\,\,n!<\mathrm{e}\left(\frac{n}{2}\right)^n$.

Lo que tengo hasta ahora:

$$\sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} \leq \frac{1+\ldots +n}{n}=\frac{(n+1)n}{2n}=\frac{(n+1)}{2}.$$

Así

$$\,\,n!<\mathrm{e}\left(\frac{n}{2}\right)^n.$$

Pero, ¿cómo puedo ir de$n+1$$n$?

Answer 1

En la primera línea se ha demostrado que

$$ n! \leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^n, $$

y la expresión de la derecha es

$$ \left(\frac{n+1}{2}\right)^n = \left(\frac{n}{2}\right)^n \left(1+\frac{1}{n}\right)^n < \left(\frac{n}{2}\right)^n.e. $$

Answer 2

Como los obtenidos en el OP: $$ \sqrt[n]{n!}\le \frac{n+1}{2}, $$ y por lo tanto $$ n!\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^{\!n}=2^{-n}n^n\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\!n}= \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!n}\left(\frac{n}{2}\right)^{\!n} <\mathrm{e}\left(\frac{n}{2}\right)^{\!n}, $$ desde $$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!n}<\mathrm{e}, $$ cual es debido al hecho de que $$ 1+\frac{1}{n}<\mathrm{e}^{1/n}. $$

Answer 3

$n!<e\bigg(\dfrac{n}{2}\bigg)^n \implies \sqrt{2\pi n}\bigg(\dfrac{n}{e}\bigg)^n<e\bigg(\dfrac{n}{2}\bigg)^n\implies \dfrac{\sqrt{2\pi n}}{e}<\bigg(\dfrac{e}{2}\bigg)^n$

El segundo paso es por Stirling Aproximación. Espero que usted pueda probar el último de la desigualdad, que es de acuerdo a mi bastante trivial para probar. Si usted está atascado, intente utilizar la inducción o intente utilizar el cálculo.