¿Pueden las matrices $A$ y $A$ + tienen el mismo determinante?

Question

Dejó $A\in\mathbb R ^ {n\times n}$ que una matriz arbitraria. Puede $A$ y $+ A$ tienen el mismo determinante, si no ¿cómo probarlo? ¿Además, puede $A$ y $+ A$ tienen los mismos autovalores?

Answer 1

Lo primero que viene a la mente: $n$ incluso, $A =-I/2$.

Answer 2

Su primera pregunta tiene muchas respuestas. Así que voy a tratar a su segunda pregunta.

Edit: en vista de Marc van Leeuwen la respuesta recomendada y ejemplos, se precisa cómo debo interpretar tu pregunta. Leo: es posible que $A$ y $I+A$ tienen el mismo complejo de autovalores repetidos de acuerdo a sus multiplicidades algebraicas? También asumo que significa $n\geq 1$. Con estos supuestos, la respuesta a la segunda pregunta es no.

Prueba 1: tenemos $$\mbox{tr}(A+I)-\mbox{tr} (A) =\mbox{tr}(A)+n-\mbox{tr}(A)=n\geq 1.$$ Por lo que $A+I$ y $Un$ tienen marcadas las huellas. En particular, no pueden tener los mismos valores propios.

Prueba 2: deje de $p_A(X)=\det (XI-A)$ ser el polinomio característico de $A$. El polinomio característico de $I+A$ satisface: $$p_ {+A}(X)=\det(XI-I-A)=\det((X-1)I-A)=p_A(X-1).$$ Si $a$ y $I+A$ tienen los mismos valores propios, es decir, tienen el mismo polinomio característico. Este es, por tanto, equivalente a $$p_A(X)=p_A(X-1).$$ Si $p_A(\lambda)=0$, $p_A(\lambda-1)=0$. Y por la inducción de $p_A(\lambda -k)=0$ para todo entero $k\geq 0$. Por lo que $p_A$ grado $n\geq 1$ polinomio con una infinidad de raíces. Eso es imposible.

Prueba 3: mucho mejor que las pruebas 1 y 2, en realidad. De ello se deduce inmediatamente de la definición del espectro que $\mbox{Espectro}(A+I)=\mbox{Espectro}(A)+1$. Tomando el máximo de las partes reales de estos conjuntos, obtenemos

$$\max\; \mbox{Re} \;\mbox{Espectro}(A+I)=\max \;\mbox{Re} \;\mbox{Espectro}(A)+1.$$ Así que $A$ y $A+I$ no puede tener la misma de los espectros de no mencionar siquiera multiplicidades.

Nota: el último argumento funciona también para el real del espectro tan pronto como sea no vacío, que ocurre simultáneamente de $A$ y $A+I$. Funciona también de forma más general, en un álgebra de Banach. Y como señala Marc van Leeuwen, de leonbloy de observación, simplemente pueden resumirse a: no hay vacío subconjunto finito en $\mathbb{R}$, que es invariante bajo $\lambda\longmapsto \lambda +1$. Ahora puede sustituir finito compacto, y $\mathbb{R}$ en $\mathbb{C}$, para obtener el general álgebra de Banach caso.

Answer 3

Para la segunda pregunta,

$${\bf p} = \lambda {\bf p} \ffi {\bf (A + I)\, p } = (\lambda +1) \, {\bf p}$$

Este dice que los autovalores de $A+I$ son los mismos autovalores de $Un$ incrementa en 1, por lo que no puede ser el mismo. (Puede suceder, por supuesto, que algunos autovalor de $A+I$ también es un autovalor de A$$).

(Actualización) me supone aquí que estamos considerando el "completo" conjunto de autovalores (en $\mathbb{C}$). Si nos restringimos a la real de los autovalores, la respuesta también se aplica; pero ahora, como se señaló en otras respuestas, los conjuntos pueden coincidir iff están vacíos.

Answer 4

$A=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$. $A+I = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. $\det a = 0$, $\det (I+A) = 0$.

El requisito es que si $a$ tiene los autovalores $\lambda_k$, entonces $\det a = \prod_k \lambda_k = \prod_k (\lambda_k+1) = \det (A+I)$. Esto es fácil de arreglar si elegimos un singular matriz con un autovalor de $-1$.

Para obtener un no-singular ejemplo, supongamos que $\lambda_2=1$, para simplificar, luego el otro autovalor debe satisfacer $1 \cdot \lambda_1 = (1+1)(\lambda_1 +1)$, que se reduce a $\lambda_1 = -2$. Por lo tanto $A=\begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ le de trabajo (para cualquier valor de $x$).

Answer 5

Sólo para dar la matemápedantically respuesta correcta a la segunda pregunta: Sí, los autovalores de $Un$ pueden ser los mismos que los de la $A+I$, pero sólo si no hay ninguno de ellos. Real de las matrices cuadradas corresponden a los operadores sobre espacios vectoriales reales, y tal que los operadores no tienen los vectores propios. Un ejemplo típico surge de $$A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$ Si ver $A$ como una matriz de más de $\Bbb C$, entonces un complejo correspondiente lineal operador tendrá valores propios, es decir, $\mathbf i$ e $-\mathbf i$, que serán diferentes de aquellos, $1+\mathbf i$ y $1-\mathbf i$, de los que el operador lineal asociado a $A+I$. Así que con esta interpretación de $$ no es un ejemplo.

Sin embargo, incluso a través de los números complejos un operador podría no tener ninguno de los autovalores. Esto sucede si (y sólo si) el espacio es definido es de dimensión $0$. Así que usted consigue $0\times0$-matriz $A$ en este caso, para la que incluso $a=a+I$ ($I$ es también el de $0\times0$-matriz; es una matriz de identidad y una matriz cero).

La razón por la que $A$ y $A+I$ puede que sólo tienen los mismos autovalores si no hay ningún supuesto (como leonbloy indica) que inmediatamente de la definición, $\lambda$ es autovalor de $Un$ si y sólo si $\lambda+1$ es autovalor de $A+I$, y el conjunto vacío es el único subconjunto finito de $\Bbb R$ que es invariante bajo la traducción por $1$.