$E[e^{cX}]$ donde $c < 0$ $X$ es distribuido lognormally

Question

Estoy tratando de calcular la expectativa de $$E[e^{cX}]$$ for arbitrary $c<0$ (for $c>0$ the expectation is infinite) if $X$ is lognormally distributed, i.e. $\log(X) \sim N(\mu \sigma)$.

Mi idea era escribir la expectativa de forma integral, pero no veía cómo proceder: $$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$$

También probé la fórmula de Itô (la verdadera tarea es encontrar a $E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$ donde $X$ es un movimiento Browniano geométrico, pero se reduce al problema anterior, porque estamos ante un proceso de Markov), pero que no se veía muy prometedor. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Lo que quieres es el momento de generación de la función de un lognormal variable, el cual es conocido por ser un problema difícil. Alternativamente, esta es la transformada de Laplace, que es su expresión con $c$ reemplazado por $-c$. Usted debe tener una mirada en https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution los que tienen alguna información útil.

El papel "En la transformada de Laplace de la distribución logarítmico-normal" por Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen y Leonardo Rojas-Nandayapa no dar la siguiente aproximación, que investigan en detalle. Deje $X$ logarítmica normal con parámetros de $(\mu, \sigma^2)$, lo que significa que $X=e^Y$$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. La transformada de Laplace es $$ E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0}) $$ donde $Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$. Por lo tanto consideramos que la transformada de Laplace $L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$. A continuación, te dan la aproximación a $L(\theta)$: $$ \frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\} $$ donde $\theta$ es no negativa. Aquí $W$ es la función W de Lambert, ver https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . (Entonces el papel se ve en la calidad de esta aproximación, y la compara con mayores aproximaciones).