¿A qué nos referimos cuando hablamos de topológico, espacio o una métrica del espacio? Veo que algunas personas llaman a la métrica de las topologías de espacios métricos y me pregunto si hay algún synonymity entre una y topología de un espacio? ¿Qué es lo que significa la palabra, y si hay varios significados ¿cómo se puede distinguir?
Respuestas
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En matemáticas, se suele llamar un conjunto (una colección de objetos) con algunas estructuras adicionales de un espacio. Así, por ejemplo, un conjunto con una cierta distancia se llama la función de un espacio métrico, y un conjunto con ciertos subconjuntos definidos para ser abierto es llamado un espacio topológico. (por supuesto, en estos dos ejemplos la función de distancia y abierta de los juegos de satisfacer ciertos axiomas.) Hay un montón de otros espacios demasiado, espacios vectoriales, etc.
La razón por la que algunas personas se refieren a un espacio topológico como tener una métrica de la topología, es debido a que un espacio métrico es un ejemplo específico de un espacio topológico. espero que ayude.
HappyEngineer
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Un espacio métrico es un conjunto con una métrica.
Un espacio topológico es un conjunto con una topología.
Métricas de los espacios y de las topologías son útiles para la definición de "continuidad".
Cada espacio métrico puede ser un topológica de una manera útil, de modo que la noción de continuidad en espacios métricos está de acuerdo con la noción de continuidad en espacios topológicos. El inverso no es cierto: la noción de topología es más general, de modo que no todos topológica del espacio "viene de" un espacio métrico.
También, dos medidas diferentes en el mismo conjunto puede resultar en la misma topología.
Una topología es entonces una "métrica de la topología" si surge de la conversión de algunas métricas en el conjunto de una topología.
Un concepto que tiene en la métrica de los espacios que no tienen en topologías es la noción de "uniforme de la continuidad".
Matt
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Emi Matro
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Un espacio métrico es un espacio en el que la noción de distancia se define: hay una función de distancia que existe en ese espacio, y es cierto para todos los puntos en el espacio que. Por ejemplo, la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio Euclidiano.
Un espacio topológico es un espacio en el que la noción de "cercanía" o "cercanía" es entendido como la existente entre algunos puntos.
Vahid Shirbisheh
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Probablemente la mejor manera de responder a su pregunta es describir una observación:
Deje $X:=(-1,1)$. Definir dos valores en $X$ como sigue $$ d_1(x,y):=|x-y|, \forall x,y\in X, $$ y $$ d_2(x,y):=|arctan(x)-arctan(y)|, \forall x,y\in X. $$
A continuación, puede ver que las métricas $d_1$ $d_2$ definir la misma topología en $X$. Sin embargo, se definen diferentes estructuras métricas en $X$. La razón es que el $(X,d_1)$ no es un espacio métrico completo (cada secuencia se acerca a 1 es una secuencia de Cauchy en $(X,d_1)$ pero no es convergente para cualquier punto en $X$.), mientras que $(X,d_2)$ es un completo espacio métrico (porque es básicamente el mismo que $\mathbb{R}$ con la métrica usual que se ha reducido en $X$).
