¿De cuántas maneras se puede resolver 1500 en dos factores?

Question

¿De cuántas maneras se puede resolver 1500 en dos factores?

Hay una fórmula para eso o una forma inteligente porque si lo hago enumerando todos los divisores de 1500 me llevará mucho tiempo.

Answer 1

Los divisores de $1500$ son los siguientes: $$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 125, 150, 250, 300, 375, 500, 750, 1500 $$ Ahora, si quieres escribir $1500$ como producto de dos números, tienes que elegir un número de esa lista, y el otro número será forzado. Por ejemplo, puede elegir $300$ y en ese caso te ves obligado a elegir $5$ . Se puede demostrar que en esta lista, hay que elegir exactamente un número por encima de $40$ y un número más abajo $40$ . Esto significa que el número de formas de escribir $1500$ como producto de dos números es exactamente igual al número de divisores que tiene por debajo de $40$ que es $12$ .

Hay algo más de teoría detrás. Por ejemplo, no es realmente $40$ ese es el número importante aquí, es $\sqrt{1500} \approx 38.7$ . Dado un número $n$ que no es cuadrado, exactamente la mitad de $n$ serán inferiores a los divisores de $\sqrt{n}$ y la mitad de ellos estarán por encima. Si $n$ es un cuadrado, entonces como veremos hay un número impar de divisores, y entonces la mitad de los divisores que no son $\sqrt{n}$ son los siguientes $\sqrt{n}$ y el resto están por encima.

Ahora, para el número de divisores, la factorización de primos es una herramienta muy poderosa. Por ejemplo, $1500 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^3$ . Un número que divide $1500$ no puede tener otros primos, y no puede tener ninguno de los mismos primos a una potencia mayor. Esto significa que todos los divisores son de la forma $$ 2^i\cdot 3^j \cdot 5^l $$ donde $i \in \{0, 1, 2\}, j \in \{0,1\}$ y $l \in \{0, 1, 2, 3\}$ . Dentro de estos límites, sin embargo, somos completamente libres, y eso significa que hay $3$ valores posibles para $i$ Hay $2$ valores posibles para $j$ y hay $4$ valores posibles para $l$ . En total, hay $3\cdot 2 \cdot 4 = 24$ diferentes divisores de $1500$ .

En general, si tenemos un número $n$ con factorización de primos $$ n = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_m^{a_m} $$ entonces cualquier divisor de $n$ no tiene otros primos en su factorización, y el número de factores $p_i$ no puede superar $a_i$ . Por lo tanto, hay $a_i + 1$ valores diferentes para elegir. En total, esto significa que el número de divisores de $n$ es $$ (a_1 + 1)(a_2 + 1)\cdots (a_m + 1) $$ Si $n$ es un cuadrado, eso significa que todos los $a_i$ son números pares, lo que significa que este producto es un número impar. En caso contrario, hay un número par de divisores.

Answer 2

$1500$ tiene una factorización primaria

$$2^2 \cdot 3 \cdot 5^3 $$

y dividirlo en dos factores equivale a enumerar un factor $d$ ya que el otro factor de coincidencia es evidentemente $15000/d$ . ¿De cuántas maneras se puede elegir un factor $d$ ¿entonces?

Escriba $d=2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ , donde $0 \leq a \leq 2,0 \leq b \leq 1,0\leq c \leq 3$ Y no olvides que $d$ y $15000/d$ dan el mismo par de factores.