$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\cdots}}}=2$

Question

Mostrar que $$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\cdots}}}=2$$ $$\sqrt{2}=\mathbf{2}^{1/2}$$ $$\sqrt{2\sqrt{2}}=\mathbf{2}^{1/2+1/2^2}$$ $$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=\mathbf{2}^{1/2+1/2^2+1/2^3}$$ Mostrar el límite de $$\mathbf{S}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dotsb+\frac{1}{2^n}=1$$ when $n\to\infty$ $$\textbf{S}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2}\textbf{S}_{n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n})$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2}\textbf{S}_{n}=(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n+1}})$$ $$\Rightarrow (1)-(2)=\textbf{S}_{n}-\frac{1}{2}\textbf{S}_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}$$ $$\Rightarrow \textbf{S}_{n}(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2^{n+1}}\rightarrow\textbf{0}\quad\textit{when n}\rightarrow\infty$$ $$\Rightarrow \textbf{S}_{n}\rightarrow\textbf{1}\quad\textit{when n}\rightarrow\infty$$ $$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\textbf{2}^{\textbf{S}_{n}}=2\quad\textit{when n}\rightarrow\infty$$

Answer 1

Deje $x_1 = \sqrt{2}$ y definen $x_{n+1} = \sqrt{2 x_n}$, entonces es suficiente para mostrar que $\lim_n x_n = 2$. Con el fin de lograr este objetivo mostrar que la secuencia $x_n$ es monótona creciente y acotada arriba (esto se lo dejo para que usted pueda hacer).

A continuación, el límite existe, así que vamos a $x = \lim x_n$. A continuación, el uso de $x_{n+1} = \sqrt{2 x_n}$ y la continuidad de la función raíz cuadrada, obtenemos que $x = \sqrt{2 x} \implies x=2$.

Answer 2

Sea S su término general para un valor grande de n. Si su cuadrado se tiene S^2 = 2 S, entonces S = 2.

Answer 3

Es más fácil de demostrar que, vamos a $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}...}}=t$. A continuación, $t^2=2t \rightarrow t=2$.

Answer 4

$$T=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}...\\ \frac{T^2}{2}=T\\$$ T es un número real distinto de cero, así:$$ T=2$$

Answer 5

La prueba es correcta!

Aquí es otra prueba.
En primer lugar observamos que la secuencia, vamos a llamar a $(a_n)_{n\in\mathbb N}$, se puede definir de forma recursiva como $a_1=\sqrt{2}$$a_{n+1}=\sqrt{2a_n}$. A continuación, puede mostrar que es creciente y acotada arriba por 2, por lo tanto converge.
Su límite, $\ell$, debe satisfacer $\ell=\sqrt{2\ell}$, y por lo tanto $\ell=2$.