Una pregunta sobre $E=pc$ para las partículas sin masa

Question

Como el fotón no tiene masa (de reposo) y

$$E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$$

derivamos que $E=pc$ para las partículas sin masa (de reposo).

Sin embargo, si transformamos la fórmula no relativista de la energía cinética

$$E_k= \frac {mv^2}{2}$$ $$E_k= \frac {p^2}{2m}$$ $$E_k= \lim_ {m \rightarrow0 } \frac {p^2}{2m}= \lim_ {m \rightarrow0 } \frac {m^2v^2}{2m}= \lim_ {m \rightarrow0 } \frac {mv^2}{2}= \frac {pv}{2}$$

derivamos que $E_k= \frac {pc}{2}$ .

Y esto es extraño porque estoy esperando $E_k=E$ .

Acabo de empezar a aprender física recientemente así que estoy bastante seguro de que me he equivocado en cierta parte. Y aquí están mis hipótesis:

1. $ $ La energía neta de un fotón $E_{net}=pc$ es equivalente $E_{net}=E_k+E_0= \frac {pc}{2}+E_0$ y así $E_0=pc-E_k= \frac {pc}{2}$ . (Si eso es cierto, ¿qué es exactamente $E_0$ ? ¿La energía de descanso de un fotón?)

2. $ $ Es incorrecto derivar la fórmula de la energía cinética a partir de la integración de la ecuación

$$ \frac { \mathrm dE}{ \mathrm dv}=mv $$

Debería integrar otra ecuación en su lugar (tal vez $ \frac { \mathrm dE}{ \mathrm dv}=p$ ? Si eso es cierto, ¿por qué rompemos $p$ en $mv$ al derivar la fórmula $E_k= \frac {pc}{2}$ ?)

3. $ $ Me equivoqué de límite:

$$E_k= \lim_ {m \rightarrow0 } \frac {p^2}{2m} \ne \frac {pc}{2}$$

$$E_k= \lim_ {m \rightarrow0 } \frac {p^2}{2m}=pc$$

Entonces, ¿alguna de estas hipótesis es correcta? ¿Y por qué?

Answer 1

Su fórmula de energía cinética es incorrecta. La correcta para una partícula masiva es $$ KE = m c^2\left[ \frac{1}{\sqrt{ 1 - v^2/c^2}} - 1 \right] $$ con $$ p = \frac{ m v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$ Ahora, para describir un fotón, queremos tomar dos límites $m \to 0$ y $v \to c$ . Estos límites deben tomarse adecuadamente. Para ser precisos, deseamos tomar este límite de tal manera que el momento permanezca bien definido y sea igual a $p$ . Esto implica $$ \frac{p}{c} = \lim_{v\to c}\lim_{m\to0} \frac{ m}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$ Aplicando este mismo límite a la energía cinética, obtenemos $$ KE = \lim_{v\to c}\lim_{m\to0} \left( \frac{ m c^2}{\sqrt{ 1 - v^2/c^2}} - m c^2 \right) = \frac{p}{c} c^2 - 0 = p c $$ ¡que es consistente con la ecuación que escribiste primero!

Answer 2

Utilizando la relación entre masa, energía y momento $$ E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 $$ $$ E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 $$

$$ \begin{align*} E_{kin} &= E - E_0 \\&= \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2} - mc^2 \\&= mc^2\left[\sqrt{1 + \frac{p^2}{m^2c^2}} - 1\right] = m c^2\left[ \frac{1}{\sqrt{ 1 - v^2/c^2}} - 1 \right] \\ \\&\approx mc^2\left[\left(1 + \frac12 \frac{p^2}{m^2c^2}\right) - 1\right] \\&= \frac{p^2}{2m} \end{align*} $$

donde la aproximación es sólo la expansión de Taylor de primer orden de $\sqrt{1+x}$ en $0$ como $p^2 \ll m^2c^2$ en el caso no relativista.

Answer 3

En realidad, hay un par de maneras diferentes de ver esto. La forma más sencilla es decir que has tomado el límite equivocado, pero no por un error matemático. El problema es que la fórmula $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ o $E_k = \frac{p^2}{2m}$ es a su vez un límite de baja velocidad de la fórmula verdadera,

$$E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}$$

Este cálculo se demuestra en Respuesta de ProgrammingEnthusiast . Esperemos que tenga sentido que si tomas el límite de baja velocidad de una fórmula para obtener otra fórmula, y luego introduces una alta velocidad en la segunda fórmula, no te va a devolver la primera fórmula. (Por analogía: si tomas el límite de baja $x$ límite de $\sin x$ , obteniendo $x$ y, a continuación, introduzca $x = 2\pi$ No va a ser lo mismo que $\sin(2\pi)$ !)

Otra forma de verlo es que tu segunda hipótesis es correcta: la fórmula $\frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}v} = mv$ no es válida para los fotones, y hay que integrar algo más. Ese algo más es en realidad uno de Las ecuaciones de Hamilton que en este caso se puede escribir

$$\frac{\partial E}{\partial p} = v$$

Por supuesto, para integrar esto todavía se necesita $v$ en función de $p$ Así que, en cierto sentido, esto es sólo retrasar la física importante por un paso. La "física importante" es la siguiente: para una partícula de baja velocidad (no relativista), se puede utilizar $v = \frac{p}{m}$ pero para una partícula de alta velocidad (relativista), esa ecuación no se cumple. Hay que utilizar $p = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ , o resolver para $v$ ,

$$v = \frac{pc}{\sqrt{m^2c^2 + p^2}}$$

Puedes ver que $v = \frac{p}{m}$ es el límite de bajo-momento (o de alta-masa) de esta ecuación. De todos modos, cuando hagas la integral, sacarás la fórmula relativista adecuada para la energía.

Answer 4

La segunda hipótesis es correcta. Para las partículas relativistas (los fotones son un buen ejemplo), $E=\frac{1}{2}mv^2$ hace no aguanta. En su lugar, debe empezar por $E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$ como lo hizo para el fotón. Por cierto, el momento relativista también viene dado por $p=\gamma mv$ donde $\gamma$ es el factor de Lorentz: $\gamma=(\sqrt{1-v^2/c^2})^{-1}$ .

Por último, si quieres ver cómo la "energía cinética newtoniana $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ aristas, mira la impresionante respuesta de Ron Maimon a esta pregunta.