Ejercicio sobre la convergencia en medida (Folland, Análisis Real)

Question

Esta viene de Folland, Análisis Real, el Problema de 33 en la sección titulada Modos de Convergencia.

Supongamos $f_n \geq 0$ $f_n \rightarrow f$ medida $\int f \leq \liminf \int f_n$.

Así que me aviso un par de cosas, primero, que desde $f_n \to f$ en cierta medida, podemos encontrar una larga $f_{n_j}$ que converge pointwise en casi todas partes (Teorema 2.30 en Folland), y por esta larga nos puede decir (por Fatou del lema uso de $f_n \geq 0$$\int f \leq \liminf \int f_{n_j}$, pero no es necesariamente cierto que el $\liminf \int f_{n_j} \leq \liminf \int f_n$, o al menos yo no la veo como para demostrar que (y en general esto no es cierto para cualquier secuencia y larga, mientras que el revés de la desigualdad es, creo).

Cualquier consejos, sugerencias o soluciones?

Answer 1

Usted puede pasar a una larga $f_{n_k}$ $\int f_{n_k} \to \liminf \int f_n$ primera.

Esta larga también convergen a $f$ en medir y ... entonces ya sabes qué hacer.

Answer 2

Usted puede utilizar el Urysohn larga principio, pero debe ser modificado un poco.

(Urysohn larga principio). Deje $x_n$ ser una secuencia de números reales, y deje $x$ ser otro número real, entonces $\liminf x_n\geq x$ fib cada subsequence $x_{n_j}$ $x_n$ la tiene más larga $x_{n_{j_i}}$ tal que $\liminf x_{n_{j_i}}\geq x$.