¿Cómo podría usted probar que si V es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ de countably dimensión infinita, y $T$ es un operador lineal sobre V, entonces el Espectro de($T$) es no vacío?
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Este es un comentario para Rankeya la respuesta publicada como un wiki de la comunidad de respuesta.
Queridos Rankeya, tu respuesta es correcta para mí, pero creo que la escritura podría ser mejorado. Aquí es cómo yo lo habría escrito. Yo no pretendo que mi propia escritura es buena. Sólo estoy tratando de ayudar. Estimados usuarios, estamos todos invitados a sugerir una mejor redacción.
Supongamos por contradicción que existe un operador lineal $T$ $V$ tal que
(1) $T-\lambda$ es un isomorfismo para todos los $\lambda\in\mathbb C$.
La reclamación. Hay una (única) $\mathbb C$-álgebra de morfismos $\phi$ $\mathbb C(X)$ $\text{End}(V)$que se asigna a$X$$T$. (Aquí se $X$ es indeterminado.)
La prueba de la Reclamación. Deje $p\in\mathbb C[X]$ ser distinto de cero. Basta comprobar que $p(T)$ es invertible. Pero esto se deduce de (1). QED
La fórmula $fv:=\phi(f)v$$f\in\mathbb C[X]$$v\in V$, vuelve $V$ a un valor distinto de cero $\mathbb C(X)$-espacio vectorial. Para conseguir el buscado de la contradicción, es suficiente para demostrar que la dimensión de $\mathbb C(X)$ $\mathbb C$ es incontable. Pero de lo contrario el conjunto de todos los $(X-\lambda)^{-1}$ donde $\lambda$ ejecuta a través de $\mathbb C$ ser $\mathbb C$-linealmente dependiente, contradiciendo la singularidad de la fracción parcial de la descomposición.
Joseph Holsten
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Aquí hay una solución: Supongamos que hay un operador lineal $T$ en V, tal que el Espectro($T$) está vacío. Esto significa que para todos los $\lambda \in \mathbb{C}$, $T− \lambda Id$ es un isomorfismo. Esto implica que el mapa de $\mathbb{C}(x) \longrightarrow End(V)$ que se asigna a $X \rightarrow T$ es un inyectiva anillo mapa, y también una $\mathbb{C}$ -lineal mapa. Deje $\mathbb{C}(T)$ denotar la imagen de este mapa. Es fácil ver que $\mathbb{C}(x)$ tiene un sinnúmero de base como un $\mathbb{C}$ espacio vectorial como el conjunto de {$1/(x−\lambda) : \lambda \in \mathbb{C}$} es linealmente independiente sobre $\mathbb{C}$. Por lo tanto $\mathbb{C}(T)$ tiene innumerables base de un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$. Ahora el conjunto {$(T− \lambda Id)^{-1} : \lambda \in \mathbb{C}$} es linealmente independiente sobre $\mathbb{C}$ (ya que es la imagen de la linealmente independientes conjunto {$1/(x−\lambda) : \lambda \in \mathbb{C}$} en la inyectiva mapa). Desde entonces, V tiene una contables de base, vamos a $v$ ser un elemento no nulo de uno de esos. Entonces el conjunto {$(T− \lambda Id)^{-1}(v) : \lambda \in \mathbb{C}$} es linealmente dependiente sobre $\mathbb{C}$ debido a que V tiene una contables. Pero, esto se contradice con independencia lineal de {$(T−\lambda Id)^{-1} : \lambda \in \mathbb{C}$}. ((Para ver que el último paso es realmente verdadero, tenga en cuenta que cualquier elemento no nulo de a $\mathbb{C}(T)$ es un isomorfismo, ya $\mathbb{C}(T)$ es un campo. Por lo tanto, cualquier elemento no nulo de a $\mathbb{C}(T)$ debe asignar un elemento no nulo del espacio vectorial V, un elemento no nulo de V))
