Producto tensorial de módulos noetherianos

Question

Dejemos que $L$ y $N$ sean dos noeterianos $R$ -módulos ( $R$ es un anillo conmutativo con 1). ¿Es correcto que $L \otimes_R N$ es noetheriano?

Si no es así, ¿qué condiciones adicionales sobre $L$ y $N$ son necesarios para que la afirmación sea verdadera?

Si cada submódulo de $L \otimes_R N$ es de la forma $L_0 \otimes_R N_0$ donde $L_0 \subset L$ y $N_0 \subset N$ son $R$ -entonces cada uno de ellos es finitamente generado y por lo tanto también su producto y hemos terminado. La cuestión es si algún submódulo del producto tensorial puede escribirse como $L_0 \otimes_R N_0$ ?

Answer 1

El producto tensorial de dos módulos noetherianos es efectivamente noetheriano. Incluso mejor, si $L$ está generada finitamente y $N$ es noetheriano, entonces $L \otimes_R N$ es noetheriano.

Porque $L$ está generada finitamente, existe una secuencia exacta $R^m \to L \to 0$ para algunos integern $m \geq 0$ . Aplicando el functor exacto correcto $-\otimes_R N$ produce una secuencia exacta $R^m \otimes_R N \to L \otimes_R N \to 0$ . Pero $R^m \otimes_R N \cong N^m$ es noetheriano, por lo que su imagen homomórfica $L \otimes_R N$ también debe ser noetheriano.