$|\operatorname{Im}f(z)|\leq |\operatorname{Re}f(z)|$ $f$ es constante

Question

Deje $f\colon\mathbb C \to \mathbb C$ ser todo. Demostrar que si $|\operatorname{Im}f(z)|\leq |\operatorname{Re}f(z)|$ todos los $z \in \mathbb C$, $f$ es constante en $\mathbb C$. Cómo puedo responder a esta considerando la distancia entre el$f(z)$$i$.

Answer 1

$|\mathrm{Im}f(z)|\le |\mathrm{Re}f(z)|$ implica que el $|f(z)-i|\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. De ello se desprende que $g(z)=\dfrac{1}{f(z)-i}$ es un almacén de toda la función, y por el teorema de Liouville, debe ser una constante.

Answer 2

Alternativamente, $\textrm{Re} \, f(z)^2 = \left(\textrm{Re} \, f(z) \right)^2 - \left(\textrm{Im} \, f(z) \right)^2 \geq 0$. Esto implica que $f(z)^2$ es constante.

Answer 3

se desprende directamente de picard a poco teorema de