La debilidad de la Convergencia implica acotamiento y de las componentes de convergencia

Question

Deje $\ell^2$ ser el conjunto de bienes número de secuencias de $\{a_n\}$ tal que $\sum a_n^2 <\infty$. Deje $\langle a_n,y\rangle \rightarrow \langle a,y\rangle$ algunos $a\in \ell^2$, y para todos los $y\in \ell^2$.

Me ayudaría a demostrar que $\{\| a_n\|\}$ delimitada y para un fijo $i$, $a_i^{(n)} \to a^{(n)}$ donde $x^{(n)}$ el valor del $n$-componente de $x$.

Answer 1

Respuesta a la primera parte de su pregunta fácilmente de la siguiente manera uniforme acotamiento principio.

Para cada una de las $n\in\mathbb{N}$ definimos el operador lineal (de hecho lineal funcional) $$ T_n:\ell_2\to\mathbb{C}:y\mapsto\langle y, a_n\rangle $$ Vamos a calcular su norma. De Cauchy Schwarz desigualdad se sigue que, para todos los $y\in\ell_2$ hemos $$ |T_n(y)|=|\langle y,a_n\rangle|\leq\Vert a_n\Vert\Vert y\Vert $$ por lo tanto $$ \Vert T_n\Vert\leq\Vert a_n\Vert\etiqueta{1} $$ Por otro lado $\Vert T_n(a_n)\Vert=\langle a_n,a_n\rangle=\Vert a_n\Vert^2$, por lo que $$ \Vert T_n\Vert\geq \Vert T(a_n)\Vert/\Vert a_n\Vert=\Vert a_n\Vert\etiqueta{2} $$ De $(1)$ $(2)$ se sigue que $$ \Vert T_n\Vert=\Vert a_n\Vert\etiqueta{3} $$ Ahora fix $y\in \ell_2$, luego por supuesto de $\lim\limits_{n\to\infty} T_n(y)=\lim\limits_{n\to\infty}\langle y,a_n\rangle=\langle a,y\rangle$. Esto significa que el sequnce $\{T_n(y):n\in\mathbb{N}\}$ es convergente y, como la consecuencia es acotada. Por tanto, para cada $y\in\ell_2$ hemos $$ \sup\{| T_n(y)|:n\in\mathbb{N}\}<+\infty $$ Luego de acotamiento uniforme principio se sigue que $$ \sup\{\Vert T_n\Vert:n\in\mathbb{N}\}<+\infty $$ El uso de $(3)$ llegamos a la conclusión de que $\{\Vert a_n\Vert:n\in\mathbb{N}\}$ está acotada. De hecho, no hay más general y mucho más corto de la prueba, sino que implica el uso adicional de la norma de integración en el doble doble de la que es isométrico para la normativa de los espacios.

En cuanto a la segunda parte de la pregunta. Es mucho más fácil. Fix $i\in\mathbb{N}$ y considerar el vector $y_i\in\ell_2$ tal que $$ y_i(k)=\begin{cases}1&\quad\text{ if }\quad k=i\\0&\quad\text{ if }\quad k\neq i\end{casos} $$ Obviamente $$ \langle y_i,a_n\rangle=\sum\limits_{k=1}^\infty a_n(k)\overline{y_i(k)}=a_n(i)\\ \langle y_i,un\rangle=\sum\limits_{k=1}^\infty un(k)\overline{y_i(k)}=a(i) $$ Ya que para todas las $y\in\ell_2$ tenemos $\lim\limits_{n\to\infty}\langle y,a_n\rangle=\langle y,a\rangle$ $$ \lim\limits_{n\to\infty} a_n(i)=\lim\limits_{n\to\infty}\langle y_i,a_n\rangle=\langle y_i,un\rangle=a(i) $$ Este s exactamente lo que queríamos demostrar.

P. S.

NO hay absolutamente elemental prueba de su pregunta sin atractivo para cualquier teorema. Quiera usted o no, se DEBE usar la integridad de la $\ell_2$. Para incompleta producto interior espacios el primer resultado no se mantiene. Para contraejemplo véase la respuesta a la pregunta ¿Qué hechos acerca de la topología débil fallar en espacios que no son de Banach?. Así, uno puede modificar mi prueba de lo que no uso uniforme de acotamiento principio, pero esta modificación va a aumentar considerablemente la prueba y, de hecho, uno resultará uniforme acotamiento principio para este caso en particular, pero sin que explícitamente dar las cosas por sus nombres.

Answer 2

Para mostrar que débilmente convergente es la secuencia de la norma acotada, generalmente el uniforme acotamiento principio se aplica, consulte también este enlace. La convergencia en el $n$-el componente de la siguiente manera inmediata, si usted elige $y$ $n$- ésimo vector unitario en $l^2$.