No hay una única solución con x es aproximadamente 0.739085. Pero es también una forma cerrada de la solución?
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La ecuación en cuestión es una ecuación trascendental. Aparte de adivinar, numérico o de métodos analíticos, no hay manera de resolver la ecuación sin necesidad de utilizar otro trascendental función, y por lo tanto argumentar en círculos.
En este caso, denotan $g(x)=\cos x -x$, ver que su derivada es negativa contables con muchos ceros, y por lo tanto $g$ es estrictamente decreciente, con un rendimiento que no es más que una solución a $g(x)=0$. Desde $g(0)g(\pi/2)<0$ existe una solución. Arbitraria precisa de aproximaciones se puede encontrar el uso de Newton, interseccion, o de la posición falsa el método.
Como usuario de Mí mismo, comentó, es un reto (no tan fuerte) para demostrar que la secuencia de $x_{n+1}=\cos x_n, x_0 \in \Bbb{R}$ converge a la solución única a $\cos x=x$.
Otro problema relacionado con el que me encontré la semana pasada cuando se trata de ayudar a uno de mis amigos para un examen es encontrar todas las funciones continuas $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ con la propiedad de que $f(x)=f(\cos x)\ \forall x \in \Bbb{R}$.
Alex Bolotov
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Mathworld llama a esto el Dottie Número. La página no hace mención de la existencia o no de forma "cerrada", y me imagino que sigue abierto.
giorgiomugnaini
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Recordando la ecuación de Kepler y su solución, la Dottie número puede ser analíticamente escrita como:
$$D = 2\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{J_{4n+1}(4n+1)}{4n+1} - \frac{J_{4n+3}(4n+3)}{4n+3}\right)$$
donde $J_{n}$ son las funciones de Bessel. Dicha serie es convergente y puede evaluarse numéricamente.
Una prueba numérica y las evaluaciones se proporcionan en :
AdinsX
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Que yo sepa, no hay manera exacta para obtener la solución para $cos(x)=x$. Pero, puede utilizar el Método de Newton para obtener un aproximado de respuesta:
Considere la función $f(x)=cosx−x$
Esto nos da que $f'(x)=-sinx-1$
El Método de Newton establece que $x_{\text{n+1}} = x_{\text{n}} - \dfrac{f(x_{\text{n}})}{f'(x_{\text{n}})}$
A continuación, acaba de empezar a $x_{\text{0}}=1$ y repita este método todo de nuevo, hasta que esté satisfecho. No olvides que el redondeo de números podría conducir a respuestas incorrectas!
Emanuele Paolini
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Es muy fácil demostrar que la ecuación de $\cos x = x$ tiene una solución única. Tomar, por ejemplo, $f(x) = x - \cos x$ y el aviso de que $f'(x) = 1+\sin x \ge 0$ (la igualdad, la celebración en puntos aislados) lo $f(x)$ es estrictamente creciente y, por tanto, la ecuación puede tener a lo más una solución. Desde $f(x)>0$$x\ge 1$$f(x)<0$$x\le 0$, y la función es continua, por el teorema de los valores intermedios, existe una y sólo una solución de $\bar x \in [0,1]$.
Para esta ecuación también hay una muy buena aproximación numérica. De hecho, $\bar x = \lim x_n$ donde $x_{n+1} = \cos (x_n)$ es cualquier iteración de la función $\cos x$. Usted puede encontrar fácilmente el valor numérico para $\bar x$ simplemente poner cualquier número en la calculadora de bolsillo y pulsando repetidamente el $\cos$ botón. De hecho, $\bar x$ es el punto fijo de la $\cos$ función de y, (al menos en $[0,1]$) $\cos$ función es una contracción de ahí cada iteración de la secuencia converge a la única de punto fijo.
También puedo convencerte de que $\bar x$ es una exacta de la solución a la ecuación de $\cos x = x$. Creo que usted está de acuerdo que $\sqrt[3]2$ es una solución exacta de la ecuación de $x^3=2$, ¿no? Ahora observe lo que está pasando aquí... uno se percata de que la función de $x^3$ es estrictamente creciente, por tanto invertible. Darle un nombre a la función inversa y de la llamada: raíz cúbica. A continuación encontrará un algoritmo para calcular la raíz cúbica en su calculadora. No es esto lo mismo que hicimos con la función de $f(x) = x-\cos x$?
Por definición el número de $q = \sqrt[3]2$ es el único número real tal que $q^3=2$. De forma análoga, el número de $\bar x$ es el único número que $\bar x-\cos \bar x=0$.
