Cuando un cambio de variable de resultados en la igualdad de los límites de integración

Question

Bien, aquí hay algo que me ha estado molestando por un tiempo. Decir que queremos encontrar a $I = \displaystyle\int\nolimits_{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,\mathrm dt$. Si sustituimos $x = g(t)$,$I = \displaystyle\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm dx$. Pero, ¿qué hacemos en el caso de que $g(a) = g(b)$? ¿Cómo debemos interpretar que? Por ejemplo, si $x = \sin{t}$, $a = 0$, y $b = \pi$,$g(a) = \sin(0) = \sin(\pi) = g(b)$. Parecería que la integral sería cero, pero me parece que no lo es.

EDITAR/Añadido: ahora me di cuenta de la forma que le he dado era muy limitante. Debo decir que mi intención era preguntar, como en el título, ¿qué hacer cuando una sustitución hace que tanto los límites de la misma.

Answer 1

Usted no ha dicho lo $f$ es. Una vez que llene todas las partes de la primera integral de la $\int_a^b f(g(t))g'(t)dt$, se puede comprobar que el cambio de variable de la fórmula es verdadera - por ejemplo, $$\int_0^\pi \sin(t)\cos(t)dt=0=\int_0^0 xdx$$

Answer 2

Por lo general, cuando usted encuentra que algunos de sustitución que hemos hecho ha hecho que los límites inferior y superior idénticos, siempre es una buena idea para comprobar si el integrando es simétrica o antisimétrica sobre el punto medio del intervalo de integración. Para el caso específico de

$$\int_0^\pi f(\sin(t))\cos(t)\,\mathrm dt$$

en lugar de hacer la sustitución de $u=\sin\,t$ que establece los límites de integración idénticos, por lo que podría en lugar de tratar de la simple sustitución de $t=v+\frac{\pi}{2}$, lo que convierte su integral en

$$\int_{0-\frac{\pi}{2}}^{\pi-\frac{\pi}{2}} f\left(\sin\left(v+\frac{\pi}{2}\right)\right)\cos\left(v+\frac{\pi}{2}\right)\,\mathrm dv$$

o

$$-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\cos\,v\right)\sin\,v\,\mathrm dv$$

Ahora, tomando nota de que $f\left(\cos\,v\right)\sin\,v$ es impar ($f\left(\cos(-v)\right)\sin(-v)=-f\left(\cos v\right)\sin v$), la integral se puede dividir así

$$-\left(\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 f\left(\cos\,v\right)\sin\,v\,\mathrm dv+\int_0^{\frac{\pi}{2}} f\left(\cos\,v\right)\sin\,v\,\mathrm dv\right)$$

y entonces podemos hacer lo siguiente:

$$-\left(\int_{\frac{\pi}{2}}^0 f\left(\cos(-v)\right)(-\sin(-v))\,\mathrm dv+\int_0^{\frac{\pi}{2}} f\left(\cos\,v\right)\sin\,v\,\mathrm dv\right)$$

$$-\left(-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f\left(\cos\,v\right)\sin\,v\,\mathrm dv+\int_0^{\frac{\pi}{2}} f\left(\cos\,v\right)\sin\,v\,\mathrm dv\right)$$

y ahora se puede ver que la integral se supone debe ser cero, lo cual es consistente con el resultado de la sustitución que hizo que tanto la integración de los límites de la misma.