Un producto infinito para $\left(\frac{\eta(13\tau)}{\eta(\tau)}\right)^2$ ?

Question

Dada la Función eta de Dedekind ,

$$\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)$$

donde $q = \exp(2\pi i\tau)$ . Considere la siguiente "familia",

$\begin{align} \left(\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}\right)^{24} &= \frac{u^8}{(-1+16u^8)^2},\;\;\; u = q^{1/8} \prod_{n=1}^\infty \frac{(1-q^{4n-1})(1-q^{4n-3})}{(1-q^{4n-2})^2}\\[2.5mm] \left(\frac{\eta(3\tau)}{\eta(\tau)}\right)^{12} &= \frac{c^3}{(1+c^3)(-1+8c^3)^2},\;\;c = q^{1/3} \prod_{n=1}^\infty \frac{(1-q^{6n-1})(1-q^{6n-5})}{(1-q^{6n-3})^2}\\[2.5mm] \left(\frac{\eta(5\tau)}{\eta(\tau)}\right)^{6}\; &= \frac{r^5}{(r^5+u_5^5)(r^5-u_5^{-5})},\quad r\; =\; q^{1/5} \prod_{n=1}^\infty \frac{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}\\[2.5mm] \left(\frac{\eta(7\tau)}{\eta(\tau)}\right)^{4}\;&= \frac{h(h-1)}{1+5h-8h^2+h^3},\quad h = 1/q\, \prod_{n=1}^\infty \frac{(1-q^{7n-2})^2(1-q^{7n-5})^2(1-q^{7n-3})(1-q^{7n-4})}{(1-q^{7n-1})^3(1-q^{7n-6})^3}\\[2.5mm] \left(\frac{\eta(13\tau)}{\eta(\tau)}\right)^{2} &=\frac{s}{(s-u_{13})(s+u_{13}^{-1})},\quad\; s =\; ???\\ \end{align}$

con unidades fundamentales $u_n$ como $u_5 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $u_{13} = \frac{3+\sqrt{13}}{2}$ . El penúltimo aparece en el capítulo 10 (10.2) de la obra de Duke Fracciones continuas y funciones modulares .

Pregunta : ¿Cuál es el producto infinito análogo, si lo hay, para $\left(\frac{\eta\,(13\tau)}{\eta\,(\tau)}\right)^2$ similares a las anteriores?

Posdata : Esta pregunta ha sido modificada anteriormente, ya que era un poco confusa.

Answer 1

Esta respuesta recoge mis comentarios anteriores y los relaciona con la respuesta de David Loeffler:

En los ejemplos dados, usted está escribiendo un uniformizador para el género $0$ curva modular $X_0(N)$ (con $N = 2, 3, 5$ y $7$ ), así como un uniformizador para algún género $0$ portada de $X_0(N)$ y la relación algebraica entre los dos uniformizadores en las dos curvas modulares diferentes.

Ahora la función $\bigl(\eta(13\tau)/\eta(\tau)\bigr)^2$ es un uniformizador en $X_0(13)$ (que también es una curva de género $0$ ). Sin embargo, ya que $X_1(13)$ ya tiene género dos (a diferencia, por ejemplo, de $X_1(N)$ para $N = 2, 3, 5,$ y $7$ cada uno de los cuales tiene un género $0$ ), no veo ninguna curva modular obvia que sea una cobertura adecuada de $X_0(13)$ pero que todavía tiene el género $0$ y, por tanto, que permite generalizar los demás ejemplos.

Answer 2

Michael Somos acaba de encontrar hoy la identidad,

$$ \left(\frac{\eta(13\tau)}{\eta(\tau)}\right)^{2} = \frac{s}{s^2-3s-1}$$

donde,

$$s=\frac{1}{q}\; \prod_{n=1}^\infty \frac{ (1-q^{13n-2})(1-q^{13n-5})(1-q^{13n-6})(1-q^{13n-7})(1-q^{13n-8})(1-q^{13n-11}) }{(1-q^{13n-1})(1-q^{13n-3})(1-q^{13n-4})(1-q^{13n-9})(1-q^{13n-10})(1-q^{13n-12})} $$

completando así la familia para $N = 2,3,5,7,13$ .

¿Responde esto a los comentarios de Matt E y Loeffler? ¿Es " s ¿"una función modular"?

Answer 3

En todas sus identidades, el lado izquierdo es la función modular estándar(-ish) de nivel $X_0(p)$ dando un isomorfismo de $X_0(p)$ en $\mathbf{P}^1$ (para los cinco primos $p$ donde existe tal cosa). Y el otro lado corresponde a algún uniformizador "bonito" de una curva modular de género 0 que es una cubierta finita de $X_0(p)$ Tal vez haya algún patrón específico en la forma de elegirlos, pero no me queda muy claro. Así que su pregunta equivale, por lo que puedo decir, a:

¿Existe una función modular que genere una extensión finita no trivial del campo de funciones de $X_0(13)$ y tiene una "bonita" fórmula de producto infinito?

Es una pregunta difícil de responder sin una definición precisa de "agradable".