El cálculo de $1+\frac13+\frac{1\cdot3}{3\cdot6}+\frac{1\cdot3\cdot5}{3\cdot6\cdot9}+\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{3\cdot6\cdot9\cdot12}+\dots? $

Question

Cómo encontrar infinito suma Cómo encontrar infinito suma $$1+\dfrac13+\dfrac{1\cdot3}{3\cdot6}+\dfrac{1\cdot3\cdot5}{3\cdot6\cdot9}+\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{3\cdot6\cdot9\cdot12}+\dots? $$

Puedo ver que 3 se cancela después de 1/3, pero ¿qué es lo siguiente? Yo no puede ir más allá.

Answer 1

Como el denominador de la $n$th plazo $T_n$ $\displaystyle3\cdot6\cdot9\cdot12\cdots(3n)=3^n \cdot n!$

(Ajuste el primer período de $T_0=1$)

y el numerador de $n$th plazo es $\displaystyle1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)$ que es un producto de $n$th términos de una Serie Aritmética con diferencia común $=2,$

podemos escribir $\displaystyle1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=-\frac12\cdot\left(-\frac12-1\right)\cdots\left(-\frac12-{n+1}\right)\cdot(-2^n)$

que convenientemente se asemeja a el numerador de Generalizar los coeficientes binomiales

$$\implies T_n=\frac{-\frac12\cdot\left(-\frac12-1\right)\cdots\left(-\frac12-{n+1}\right)}{n!}\left(-\frac23\right)^n$$

Así que, aquí $\displaystyle z=-\frac23,\alpha=-\frac12$ $\displaystyle(1+z)^\alpha$

Answer 2

El uso Generalizado de la Expansión Binomial, $$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots$$ dado el convergen tiene

Comparando con la Serie de $\displaystyle nx=\frac13\implies n^2x^2=\cdots\ \ \ \ (1)$

y $\displaystyle\frac{n(n-1)}{2!}x^2=\frac{1\cdot3}{3\cdot6}\ \ \ \ (2)$

Divida $(2)$ $(1)$ encontrar $\displaystyle n=-\frac12$ y, en consecuencia, $\displaystyle x=-\frac23$

Observe que estos valores satisfacen los próximos dos términos, demasiado.

Por lo tanto, la suma de la siguiente manera

Answer 3

Considerar el denominador y el numerador por separado en un principio,

$$G_n = 2^n \prod_{m=1}^n m-1/2, \qquad F_n = \frac{1}{3^n n!}$$

Así tenemos

$$T_n = \prod_{m=1}^n \frac{m-1/2}{n!} \left(\frac{2}{3}\right)^n \qquad \text{or} \qquad T = \sum_{n=0}^\infty \prod_{m=1}^n \frac{m-1/2}{n!}\left(\frac{2}{3}\right)^n$$ Viendo estas series de elementos hasta llegamos a $T=\sqrt{3}$.

EDITAR

La forma final de la serie es $$\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma (n+1/2) }{\sqrt{\pi} n!} \left( \frac{2}{3}\right)^n =\sqrt{3}$$ donde $\Gamma(n)$ es la conocida función Gamma.