A través de un punto arbitrario situado en el interior de un triángulo, se trazan tres rectas paralelas a sus lados. Estas líneas dividen el triángulo en seis partes, tres de las cuales son triángulos. Si las áreas de estos triángulos son $S_1,S_2,S_3$ entonces demuestre que el área del triángulo dado es igual a $(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2$ .
En serio, no tengo ni idea de cómo enfocar este problema. Parece algo complicado. Ayuda y gracias de antemano.
Respuestas
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Tienes tres pequeños triángulos, cada uno de los cuales es similar al triángulo original con la misma orientación. Sus bases se suman a la base del triángulo original (basta con deslizar dos de ellos hacia abajo).
Llama a la base del triángulo original $b_0$ y su área $S_0$ . Entonces $b_0=b_1+b_2+b_3$ y $S_i=kb_i^2$ con la misma constante $k$ , lo que significa que $\sqrt\frac{S_0}{k}= \sqrt\frac{S_1}{k}+\sqrt\frac{S_2}{k}+\sqrt\frac{S_3}{k}$ o en otras palabras $S_0=\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2$ .
jena
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Hay una forma sencilla de hacerlo si se está preparado para utilizar las propiedades de los mapeos afines. Consideremos primero el caso del triángulo con vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(0,1)$ . Entonces se pueden calcular los vértices de los tres triángulos muy fácilmente: son $(x,y)$ , $(1-y,y)$ y $(x,1-x)$ , resp. $(x,y)$ , $(x,0)$ y $(x+y,0)$ , resp. $(x,y)$ , $(0,y)$ y $(0,x+y)$ . Las áreas de los triángulos son entonces $x^2$ , $y^2$ y $(1-x-y)^2$ hasta un factor de $\frac 12 $ que da el resultado deseado. Ahora se utiliza el hecho de que CUALQUIER triángulo es afinamente equivalente al anterior y que un mapeo afín preserva el paralelismo y las áreas (hasta un factor) y esto permite reducir el caso general a éste.
Si se siente incómodo con este argumento, puede elegir el sistema de coordenadas para que $A$ es $(0,0)$ , $B$ es $(1,0)$ y $C$ es $(p,q)$ . Un cálculo similar, pero un poco más complicado, nos lleva al resultado.
