¿Existe un enfoque más sencillo para este sistema de ecuaciones?

Question

Hace poco me encontré con el siguiente sistema de ecuaciones:
$$x + y + z = 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 2 \\ x^3 + y ^3 + z^3 = 3$$

Y tengo dos preguntas:

En primer lugar, ¿hay alguna forma de demostrar o refutar si existe una solución para este conjunto concreto de ecuaciones? Además, ¿hay una manera de ampliar la prueba para un conjunto de ecuaciones más generalizado, es decir, para este conjunto :

$$x + y + z = 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 2 \\ ...\\x^n + y^n + z^n = n$$
Dos, ¿existe un enfoque más sencillo para el conjunto de soluciones previas que la sustitución? De momento, no consigo nada con este método. Termino entrando en una larga serie de sustitución y aislamiento que produce algo como $z = z$ o $1 = 1$ .

Perdona si es una pregunta repetida; no he podido encontrar exactamente una forma de buscar las ecuaciones.

Answer 1

SUGERENCIA:

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$

$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz$

Así, podemos encontrar $x+y+z,xy+yz+zx,xyz $

Ahora $x,y,z$ son las raíces de $t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=0$

Creo que se puede aplicar el mismo patrón para los poderes superiores

Answer 2

Para este conjunto particular de tres ecuaciones, no hay solución. (Y, por tanto, tampoco hay solución si se añaden más ecuaciones).

A partir de la primera ecuación $x+y+z = 1$ puede eliminar $z$ como $z = 1 - x - y$ . Entonces la segunda ecuación $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ se convierte en $x^2 + y^2 + (1 - x - y)^2 = 2$ que al ser una expresión cuadrática en $x$ y $y$ define una sección cónica en la $x$ - $y$ plano, en este caso una elipse. Después de esto, la tercera ecuación $x^3 + y^3 + z^3$ lo que equivale a $x^3 + y^3 + (1 - x - y)^3$ define otra curva en el $x$ - $y$ plano, que resulta que no se cruza con la elipse.

La elipse del centro es la curva $x^2 + y^2 + (1-x-y)^2 = 2$ las curvas fuera pero sin tocarla son $x^3 + y^3 + (1-x-y)^3 = 3$ .

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Ahora que sabemos lo que hay que demostrar (que no hay solución), podemos buscar una prueba aleatoria. :-)

Answer 3

Como laboratorio bhattacharjee ha mencionado, puede ver $x,y,z$ como raíces de un polinomio de grado 3, y así obtener

$$x+y+z=1$$ $$xy+yz+zx=-\frac{1}{2}$$ $$xyz=\frac{1}{6}$$

Fórmulas de Vieta relaciona las expresiones anteriores con los coeficientes de los polinomios, a partir de los cuales podemos resolver $x,y,z$

En respuesta a su otra pregunta:

Nótese que las tres primeras relaciones: $$x+y+z=1$$ $$x^2+y^2+z^2=2$$ $$x^3+y^3+z^3=3$$ definir completamente $x,y,z$ (hasta la simetría), ya que estas relaciones definen un grado $3$ polinomio, que claramente tiene $3$ raíces (no necesariamente distintas), que deben ser $x,y,z$ respetivamente.

Así, $x^4+y^4+z^4$ por ejemplo, ya está definida como $\frac{31}{6}$ y no $4$ Por lo tanto, la pregunta general no tiene solución.

Las identidades generales $x_1^k+x_2^k+\dots+x_m^k=n_k$ para algún polinomio de grado $m$ y las raíces $x_1,\dots,x_m$ y su relación con los coeficientes del polinomio son realmente conocidos como Identidades de Newton , por lo que en realidad se pueden derivar fácilmente las relaciones que laboratorio bhattacharjee mencionada en sus puestos.

Answer 4

Lo convertiremos en una ecuación cúbica en términos de $z$ . Tenemos $x+y = 1-z$ y $x^2 + y^2 = 2-z^2$ .

Factor: $$x^3 + y^3 = ( x + y ) ( x^2 - xy + y^2 ) = ( 1-z ) ( 2-z^2 - xy )$$

$$2xy = ( x + y )^2 - ( x^2 + y^2 ) = ( 1-z )^2 - ( 2 - z^2 ) = 2z^2 - 2z - 1$$

Así que nuestra tercera ecuación se convierte (multiplicando por $2$ ):

$$( 1 - z ) ( -4z^2 + 2z + 5 ) + 2z^3 = 6$$

Multiplicando ambos lados por $2$ y expandiendo el polinomio,

$$6z^3 - 6z^2 - 3z -1 = 0$$

Esto tendrá $3$ raíces (en los números complejos), que serán soluciones para $x$ , $y$ y $z$ (por simetría).