Creo que la integral es convergente, pero no sé cómo demostrarlo.
$\int_0^\infty \ \frac{1}{1 + x^4\sin x} \,dx $
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Jim Petkus
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Deje $f(x)=1+x^4\sin x$. Su primer positivo cero $x_0\simeq 3.1517$ , es ligeramente mayor que $\pi$. En este punto, $f'(x_0)=4x_0^3\sin x_0+x_0^4\cos x_0\simeq -99.9362\neq 0$. Por lo $f(x)\sim f'(x_0)(x-x_0)$ dónde $$ \frac{1}{1+x^4\sin x}=\frac{1}{f(x)}\sim\frac{1}{f'(x_0)(x-x_0)} $$ al $x$ enfoques $x_0$. Así que el integrando es continuo y positivo en $[0,x_0)$, y en comparación $$ \int_0^{x_0}\frac{1}{1+x^4\sin x}dx=+\infty. $$ A fortiori, esta función no es integrable sobre $[0,+\infty)$.
Anthony Shaw
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El integrando tiene una orden de $1$ singularidad en cada raíz de $1+x^4\sin(x)$. Las verdaderas raíces se encuentran, por $n\ge1$, en el eje real en $$ x_n\aprox n\pi\frac{(-1)^n}{n^4\pi^4}\etiqueta{1} $$ No es una raíz simple de a $x_0=0.79474586313959135719 + 0.61883482670901662817 i$.
El residuo de a $x_n$ es $$ \frac1{4x_n^3\sin(x_n)+x_n^4\cos(x_n)}\approx\frac{(-1)^n}{n^4\pi^4}\text{ para }n\ge1\etiqueta{2} $$ El contorno vamos a utilizar va de $+i\infty$ $0$ $+\infty$con infinitesimal de las agujas del reloj semi-círculos para evitar el real singularidades. Por el contorno de la integración, el principal valor de la integral a lo largo del eje real de $0$ $\infty$es igual a la integral a lo largo del eje imaginario de $0$ $i\infty$ $\pi i$veces la suma de los residuos en $x_n$ $n\ge1$ $2\pi i$ veces el residuo en $x_0$. La suma de los residuos obviamente converge.
La combinación de la integral a lo largo del eje imaginario, los residuos a lo largo del eje real (que sólo se combinan una parte imaginaria), y el residuo de a $x_0$, obtenemos el Valor Principal de Cauchy de la integral: $$ \begin{align} \mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^4\sin(x)} &=\int_0^\infty\frac{i\,\mathrm{d}x}{1+ix^4\sinh(x)}\\ &+\pi i\sum_{n=1}^\infty\frac1{4x_n^3\sin(x_n)+x_n^4\cos(x_n)}\\ &+2\pi i\frac1{4x_0^3\sin(x_0)+x_0^4\cos(x_0)}\\ &=\int_0^\infty\frac{x^4\sinh(x)\,\mathrm{d}x}{1+x^8\sinh^2(x)}\\[9pt] &+0.85233885641320594757\tag{3} \end{align} $$ Así, aunque el integrando no es absolutamente integrable, tiene un convergentes Valor Principal de Cauchy. El uso de $(3)$, Mathematica 8 da la aproximación numérica $$ \mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^4\sin(x)}=1.14619893142224184361\etiqueta{4} $$
