Primaria duda sobre las Desigualdades

Question

Dada la siguiente expresión:

$$(7y-1)(y-7) \le 0$$

A mí esta desigualdad implica $y \le 7$$y \le \frac{1}{7}$, pero la expresión correcta (desde mi módulo) pasa a ser $\frac{1}{7} \le y \le 7$

Exactamente dónde me he equivocado?

Answer 1

La Propiedad del Producto nulo ($ab=0\implies a=0\text{ or }b=0$) es la mecánica detrás de ir de $(7y-1)(y-7)=0$ $y=\frac{1}{7}$o $y=7$. No es directamente análoga a la propiedad de las desigualdades.

El método que yo sugiero para el examen de las desigualdades que comparar una expresión a 0 es el límite algoritmo de encontrar los valores que hacen de la expresión igual a 0, que son los puntos de límite de un conjunto de intervalos en la recta numérica, luego de la prueba de cada intervalo para ver si satisface la ecuación original.

En el ejemplo concreto, el límite de puntos de $y=\frac{1}{7}$$y=7$, por lo que la prueba de un cierto valor de $y$ bajo $y=\frac{1}{7}$ (por ejemplo, $y=0$), el valor de $y$ $y=\frac{1}{7}$ $y=7$ (por ejemplo, $y=\frac{1}{2}$), y algunos de valor de $y$ sobre $y=7$ (por ejemplo, $y=10$). La desigualdad original es falsa por debajo de $y=\frac{1}{7}$ y por encima de $y=7$ y verdadero entre el$y=\frac{1}{7}$$y=7$. Desde la desigualdad original incluido = (fue ≤), la solución incluye el límite de puntos que resolver la ecuación correspondiente, por lo que la solución es $\frac{1}{7}\le y\le 7$.

Answer 2

Sugerencia: Si el producto de dos números es nonpostive, uno de ellos debe ser de un valor no positivo y uno de ellos debe ser no negativo.

Edit: $(7y-1)(y-7)\leq 0$. Por lo tanto, $7y-1 \leq 0$ $y-7 \geq 0$ o $7y-1 \geq 0$$y-7 \leq 0$. Ahora, se puede eliminar uno de estos dos casos?

Answer 3

Otra forma es analizar como una función cuadrática $f(y)=7y^2-50y+7$.

Tenga en cuenta que usted desea resolver : $f(y)=7y^2-50y+7 \leq 0$, cuya gráfica es:

Las intersecciones con el eje x son : $x=\frac{1}{7}$ $x=7$ este gráfico, podemos decir que $f(y) \leq 0$$[\frac{1}{7},7]$, esto quería ver.

Answer 4

SUGERENCIA $\ $ Si $\rm\ a < b\ $ $\rm\ (x-a)\ (x-b) < 0\ \iff\ a < x < b $