Puede no lineales transformaciones ser representado como Matrices de Transformación?

Question

Acabo de volver de un intenso álgebra lineal conferencia que mostró que las transformaciones lineales podrían ser representados por matrices de transformación; con más de generalización, posteriormente se ha demostrado que las transformaciones afines (lineal + traducción) puede ser representada por la multiplicación de la matriz así.

Esto me puso a pensar en todas esas otras transformaciones que he recogido durante los últimos años he estado estudiando matemáticas. Por ejemplo, polar transformaciones -- transformando x y y a dos nuevas variables r y theta.

Si se asignan r a la x eje y theta a la y eje, tendría que tienen básicamente la transformación de coordenadas. Una vez deformado uno, en que.

Es allí una manera de representar esta utilizando una matriz de transformación? He tratado de tocar el violín alrededor con los números, pero todo lo que he tratado de trabajar con se ha derrumbado bastante embarazosa.

Lo que es más importante, hay una manera de que, dado un determinado no-lineal de la transformación, la construcción de una matriz de transformación a partir de ella?

Answer 1

Como Harry dice que usted no puede (el ejemplo de transformaciones afines pueden ser ajustados para trabajar porque son lineales con el origen traducida). Sin embargo, la aproximación de una función no lineal por lineal, es algo que hacemos todo el tiempo de cálculo a través de la derivada, y es lo que a menudo tenemos que hacer para hacer un modelo matemático de algún fenómeno real manejable.

Answer 2

Como otros ya han mencionado, el determinante Jacobiano transforma un sistema de coordenadas a otro que se relaciona con infinitesimal áreas (o volúmenes) de un sistema a otro. Considere la posibilidad de ir de Cartesianas a coordenadas Polares:

$$ J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \end{vmatrix} $$ $$ =\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \\ \end{vmatrix} =r\;\cos^2\theta + r\;\sin^2\theta = r $$

Esto es útil porque:

$$\mathrm{d}A = J\;\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

$$\iint_\mathbf{R} f(r,\theta)\mathrm{d}A = \int_a^b \int_0^{r(\theta)} f(r,\theta) r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

Lo cual nos indica que si tiene una función $f(r, \theta)$, se puede calcular la integral como el tiempo que hay que añadir un factor de $r$. El común de las transformaciones han sido elaboradas y pueden ser encontrados aquí en la Wikipedia.

Answer 3

Usted no puede representar una transformación no lineal con una matriz, sin embargo, hay algunos trucos (por falta de una palabra mejor) disponible si el uso homogéneo de las coordenadas. Por ejemplo, el 3d, la traducción no es una transformación lineal en un 3x3 3d de la matriz de transformación, sino que es una transformación lineal en 3d homogénea coordina el uso de un 4x4 matriz de transformación. Lo mismo es cierto de otras cosas como la perspectiva de las proyecciones. Esta es la razón por la 4x4 matrices se utilizan en los gráficos 3d como homogéneas coordinar el sistema simplifica mucho las cosas.

Para aclarar - el uso homogéneo de las coordenadas aumenta el alcance de las transformaciones representable mediante matrices de la llanura transformaciones lineales a transformaciones afines y algunas proyecciones, pero es que no todos los no-lineal transformaciones representable mediante matrices. La no-lineal de la transformación como un ejemplo aún más allá de la representación como una transformación afín (Gracias a @Harry para solicitar una aclaración en los comentarios)

Answer 4

Usted puede representar algunos no-lineal que transforma (como la traducción) de n dimensiones vector con n+1 dimensiones de la matriz. Sin embargo, la conversión de vector a su n+1 dimensiones homogéneas versión y no es una transformación lineal y también no puede representarse como una matriz.

De más está explicado aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix