Laplace-Beltrami Operador para el Espacio Euclidiano

Question

Considerar el espacio $\mathbb{R}^n$ y deje $x_1,\ldots, x_n$ ser las coordenadas. Revisión de la orientación de la $dx_1\wedge dx_2\ldots\wedge dx_n$. Deje $E^p$ denotar el espacio de liso $p$ formas y deje $d$ denotar el exterior derivación mapa de$E^p$$E^{p+1}$. El uso de la orientación, se obtiene la estrella de Hodge operador

$$*:E^p\to E^{n-p}$$

La de Laplace-Beltrami operador se define como $$\Delta:=d\delta+\delta d=(-1)^{n(p+1)+1}d*d* + (-1)^{np+1}*d*d$$ Puede comprobarse fácilmente que para un 0 (funcionamiento) $f$, tenemos $$\Delta(f)=-\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}$$ Es un ejercicio de Warner libro (Fundamentos de la Diferenciable Colectores y la Mentira de los Grupos), el último Capítulo, el ejercicio 6 para mostrar que $$\Delta(fdx_I)=\Delta(f)dx_I$$ ¿Alguien sabe que una limpia y ordenada manera de hacer este problema. Gracias de antemano.

Answer 1

Como de costumbre, el truco es utilizar la representación en coordenadas locales. Observe primero que el uso de la linealidad es suficiente para demostrar la declaración tiene por $\omega := f \mathrm d x^I$ para cualquier aumento de la multi índice $I$. A continuación, tenemos que demostrar que $$(\mathrm d\delta + \delta \mathrm d)\omega = (\Delta f) \mathrm dx^I.$$ Tenemos

\begin{align*} \mathrm d \delta \omega &= \mathrm d \left( -\sum_{k=1}^p (-1)^{k-1} \partial_{jk} f \mathrm dx^{i_1} \wedge \dots \wedge \widehat{\mathrm dx^{i_1}} \wedge \dots \mathrm dx^{i_p} \right)\\ &= -\sum_{k=1}^p (-1)^{k-1} \sum_{l=1}^n \partial_l \partial_{jk} f \mathrm dx^{l} \wedge \mathrm dx^{i_1} \wedge \dots \wedge \widehat{\mathrm dx^{i_k}} \wedge \dots \wedge \mathrm dx^{i_p}\\ &= -\sum_{k=1}^p \partial_{jk}^2 f \mathrm dx^I - \sum_{k=1}^p (-1)^{k-1} \sum_{\substack{l=1\\ l \not\in \{i_1, \dots, i_p\}}}^n \partial_l \partial_{jk} f \mathrm dx^{l} \wedge \mathrm dx^{i_1} \wedge \dots \wedge \widehat{\mathrm dx^{i_k}} \wedge \dots \wedge \mathrm dx^{i_p} \end{align*} De forma análoga, pero más fácil, uno puede mostrar que \begin{align*} \delta\mathrm d\omega = -\sum_{k=1}^p \partial_{jk}^2 f \mathrm dx^I + \sum_{k=1}^p (-1)^{k-1} \sum_{\substack{l=1\\ l \not\in \{i_1, \dots, i_p\}}}^n \partial_l \partial_{jk} f \mathrm dx^{l} \wedge \mathrm dx^{i_1} \wedge \dots \wedge \widehat{\mathrm dx^{i_k}} \wedge \dots \wedge \mathrm dx^{i_p} \end{align*} Por lo tanto, obtenemos $$ (\mathrm d \delta + \delta\mathrm d) \omega = \left(-\sum_k \partial_k^2 f\right)\mathrm dx^I = (-\Delta f) \mathrm dx^I.$$

PS: tal vez comprobar si una no te metas con la convención de signos, ya que yo normalmente uso la definición de $\delta := (-1)^{n(p+1)} * \mathrm d *$.