Hay muchos de la función $f(x)$ no de la forma $x^r$ que satisfacer $f(x^2)=f(x)^2$.
Comenzamos con Igor Rivin la sugerencia de hacer un logarítmica de sustitución. En realidad, podemos hacer una doble logarítmica de sustitución para simplificar la ecuación funcional aún más.
Vamos a utilizar el extendido de los números reales $[-\infty,\infty]:=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}$, los que tienen el homeomorphism tipo de un intervalo cerrado. Ampliamos el exponenential y logaritmo funciones en la forma habitual (es decir,, $2^\infty=\infty$, $2^{-\infty}=0$, $\log 0=-\infty$, $\log \infty=\infty$). Las extensiones se mantenga continua.
Deje $\varphi:[0,1]\to [-\infty,\infty]$ ser dada por
$$
\varphi(x)=\log_2(-\log_2 x).
$$
Este es un homeomorphism, con inversa
$$
\varphi^{-1}(v)=2^{-(2^v)}.
$$
El mapa de $\varphi$ da una correspondencia entre continuos $f:[0,1]\to [0,1]$ y continua $h:[-\infty,\infty]\to[-\infty,\infty]$, dado por
$$
h=\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}.
$$
Se puede comprobar que el $f(x^2)=f(x)^2$ todos los $x\in[0,1]$ si y sólo si $h(v+1)=h(v)+1$ todos los $v\in[-\infty,\infty]$ (con la convención de las $-\infty+1=-\infty$$\infty+1=\infty$).
Si $h(v+1)=h(v)+1$, $h$ está determinado por su restricción a cualquier intervalo de longitud 1, decir $[0,1]$. Una función continua $j:[0,1]\to [-\infty,\infty]$ es la restricción de algunos $h$ satisfacción $h(v+1)=h(v)+1$ si y sólo si $j$ es idéntica $-\infty$, idéntica infinito o finito en todas partes. Al $j$ es idéntica $\pm\infty$, $f(x)$ es idéntica $0$ o $1$, de modo que excluir estos casos.
Explícitamente: vamos a $h:[0,1]\to (-\infty,\infty)$ ser cualquier función continua satisfacción de $h(1)=h(0)+1$. Ampliamos $h$ a una función continua $(-\infty,\infty)\to (-\infty,\infty)$ por
$$
h(v)=h\left( v-\lfloor v\rfloor\right)+\lfloor v\rfloor.
$$
Finalmente, se establece $h(-\infty)=-\infty$, $h(\infty)=h(\infty)$. A continuación, la función de $f:[0,1]\to[0,1]$ $f(x)=\varphi^{-1}(h(\varphi(x)))$ satisface $f(x^2)=f(x)^2$.
Como un caso especial: si $h(v)=v+\lambda$ fijos $\lambda\in\mathbb{R}$,$f(x)=x^{2^\lambda}$, por lo que tenemos cada función $f(x)=x^r$ ( $r>0$ ) de esta manera.
Para obtener una $f$ no de esta forma, necesitamos otra $h$. Por ejemplo, podríamos tomar a $h(v)=v+\sin(2\pi v)$, que es continua y satisface $h(v+1)=h(v)+1$.
