Camino más corto entre dos puntos de una superficie

Question

Dejemos que $S$ sea una superficie en $\mathbb{R}^3$ definido por la ecuación $f(x,y,z)=0$ . Dejemos que $\gamma(t)=(x(t),y(t),z(t))$ sea una curva paramétrica en $S$ uniendo dos puntos $p$ y $q$ Es decir $\gamma(0)=p$ y $\gamma(T)=q$ . Cómo encontrar la curva más corta (abstracta) en S que conecta $p$ y $q$ ?

La longitud $L$ de la curva que une $p$ y $q$ viene dada por

$$L=\int_0^T \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\,dt.$$

Sin superficie $S$ la curva que minimiza $L$ sería una línea recta. No sé cómo poner la restricción de la superficie en cuenta.

Answer 1

Anthony Carapetis hace un buen trabajo describiendo las geodésicas como caminos más cortos. Quiero abordar su ecuación de cómo se utiliza la restricción de superficie para calcular realmente la forma de las geodésicas. Para ello, utilizaremos el cálculo de variaciones. En el cálculo monovariable, aprendemos a optimizar un funcional con respecto a una variable. En el cálculo multivariable, aprendemos a hacer lo mismo con respecto a varias variables. ¿Pero qué pasa con un número infinito de variables? Supongamos que tenemos una función $J$ que tiene la forma $$J(f)=\int_a^b F(x,f(x),f'(x))\,dx.$$ Tenga en cuenta que $J$ toma una función diferenciable $f$ como su entrada, y da un número real como su salida. Una de las preguntas que podemos intentar responder con el cálculo de variaciones es "¿qué función $f$ da el valor mínimo de $J$ ?" (una función del tipo de $J$ se llama funcional). Este es el tipo de problema que se plantea. En tu caso, el problema es cuál es el valor mínimo de $$J(x,y,z)=\int_0^T\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\,dt.$$ La única diferencia es que $J$ es un funcional de tres funciones $x$ , $y$ y $z$ . Para resolver un problema como éste en el cálculo normal, tomaríamos una derivada o gradiente y la haríamos igual a cero. Aquí hacemos lo mismo, sólo que la derivada que tomamos es un poco diferente. Se llama derivada variacional. Si el funcional toma sólo una función como entrada, la derivada toma la forma: $$\frac{\partial F}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f'}.$$ En esta derivada estamos tomando derivadas parciales con respecto a las funciones $f$ y $f'$ . Esto se hace igual que $f$ y $f'$ son variables normales e independientes entre sí. Obsérvese también que no tomamos la derivada variacional de $J$ directamente, sino de $F$ la función dentro de la integral. Como nuestro funcional acepta tres funciones, tenemos que resolver las ecuaciones simultáneas:

$$\frac{\partial \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}}{\partial x'}=0,$$

$$\frac{\partial \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}}{\partial y}-\frac{d}{dt}\frac{\partial \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}}{\partial y'}=0,$$

$$\frac{\partial \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}}{\partial z}-\frac{d}{dt}\frac{\partial \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}}{\partial z'}=0.$$

Pero ¡espera! no hemos utilizado la restricción de que la solución de estas ecuaciones tiene que estar en la superficie. En efecto, si se resuelven las ecuaciones anteriores (y se puede, no es demasiado difícil), se obtiene $x''(t)=y''(t)=z''(t)=0$ una línea recta. Para forzar que la solución se sitúe en una superficie, tenemos que hacer algo parecido al método de Lagrange para optimizar problemas de optimización multivariable con restricciones. En lugar de aplicar la derivada variacional a $F$ lo aplicamos a $F-\lambda f$ para algún número $\lambda$ (recuerda $f(x,y,z)=0$ representa la superficie). Así que tenemos que resolver

$$\frac{\partial (\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}-\lambda f(x,y,z))}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial (\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}-\lambda f(x,y,z))}{\partial x'}=0,$$

$$\frac{\partial (\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}-f(x,y,z))}{\partial y}-\frac{d}{dt}\frac{\partial (\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}-f(x,y,z))}{\partial y'}=0,$$

$$\frac{\partial (\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}-\lambda f(x,y,z))}{\partial z}-\frac{d}{dt}\frac{\partial (\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}-\lambda f(x,y,z))}{\partial z'}=0.$$

Simplifiquemos esto. Recordemos que estamos tratando $x$ y $x'$ como independientes, por lo que $\frac{\partial x}{\partial x'}=0$ y $\frac{\partial x'}{\partial x}=0$ . Lo mismo para $y$ y $z$ y todas las derivadas mixtas. Así, el problema se reduce a resolver

$$-\lambda \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}}=0,$$

y lo mismo para $y$ y $z$ . Esto es realmente difícil de resolver. Se hace más fácil si asumimos algo sobre la parametrización. La parametrización es la rapidez con la que barremos la curva. Hay múltiples parametrizaciones que dan la misma curva. Hay una parametrización llamada parametrización de longitud de arco que es una velocidad constante. Si asumimos que la solución está parametrizada por la longitud de arco, la derivada de la longitud de arco con respecto al tiempo es constante, por lo que hay una constante $C$ para que $\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}=C$ . Así, la ecuación anterior se simplifica a

$$-\lambda \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}-\frac{x''(t)}{C}=0.$$

De nuevo, las mismas ecuaciones para $y$ y $z$ . Así, vemos que sólo tenemos que resolver $-C\lambda \nabla f=\gamma''(t)$ , donde $\gamma(t)$ es la curva. Esta ecuación diferencial sigue siendo difícil de resolver, pero al menos tenemos una oportunidad. ¡Suerte!

Answer 2

Estás buscando una minimización geodésico . En particular (suponiendo que $f$ es lo suficientemente agradable para $S$ para ser una superficie regular) la curva más corta debe satisfacer la ecuación geodésica, que en este caso se reduce a la condición de que $\gamma''(t)$ es paralelo a $\nabla f$ .

Esto convierte el problema en una EDO de segundo orden con dos condiciones de contorno, pero sólo encontrarás soluciones de forma cerrada en casos muy especiales. Incluso una vez encontradas todas las soluciones que unen los dos puntos, hay que elegir la más corta: en general hay curvas que satisfacen la ecuación geodésica pero no son minimizadoras, y puede que ni siquiera haya una única más corta.

Answer 3

Para empezar te sugiero que leas la Ley de Clairut sobre superficies simétricas al eje y la apliques a un cilindro y luego a un cono. Los grandes círculos son geodésicos en una esfera. Una cosa interesante de las geodésicas es que su curvatura nula se mantiene así incluso doblándose.