¿Existen álgebras de Lie de dimensión finita que no estén definidas sobre los números enteros?

Question

Dejemos que $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie compleja de dimensión finita y sea $R \subset \mathbb{C}$ sea un subring. Digamos que $\mathfrak{g}$ es definido sobre $R$ si existe una base $x_1, ... x_n$ para $\mathfrak{g}$ tal que las constantes de estructura $c_{ijk}$ del soporte $$[x_i, x_j] = \sum_k c_{ijk} x_k$$ todos mienten en $R$ . Es clásico que todo semisimple $\mathfrak{g}$ se definen sobre $\mathbb{Z}$ . Pero esto también es cierto para algunos no-semisimples $\mathfrak{g}$ como el álgebra de Lie de $n \times n$ matrices triangulares superiores o estrictamente triangulares superiores.

De hecho, no conozco un ejemplo de tal $\mathfrak{g}$ que no es definido sobre $\mathbb{Z}$ aunque me sorprendería que no existieran. ¿Puede alguien construir una o demostrar que no existen? Si existen, ¿es cierta una afirmación más débil? Por ejemplo, ¿son todos los $\mathfrak{g}$ definido sobre un campo numérico?

Answer 1

Álgebras de Lie tridimensionales (sobre $\mathbb{C}$ , digamos) varían en los módulos: véase, por ejemplo este documento para una descripción. (No estoy familiarizado con los detalles...) En particular, una de las componentes conectadas del espacio de módulos tiene dimensión uno, por lo que el punto genérico de este espacio de módulos no puede definirse sobre ninguna extensión algebraica de $\mathbb{Q}$ .

Answer 2

Ah, ahí está. En uno de los libros de Pete Clark respuestas a enlaces a un papel dando una familia continua $L_a^3$ de pares no isomórficos solubles $3$ -de Lie sobre cualquier campo. Explícitamente, éstas son abarcadas por $x_1, x_2, x_3$ satisfaciendo $$[x_3, x_1] = x_2, [x_3, x_2] = ax_1 + x_2$$

para un parámetro $a$ (y, supongo, $[x_1, x_2] = 0$ ). Dado que $\mathbb{C}$ es incontable la conclusión es la siguiente.