Si $n$ es un número entero, ¿cómo puede saber si $n^n$ es un cuadrado perfecto, sin una calculadora?
La pregunta es: "¿cuántos números enteros entre el $1$ $100$ inclusive, elevado a su propio poder, son cuadrados perfectos?".
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Está claro que si $n$ es un número par entonces, $n$ poder $n$ es sin duda un cuadrado perfecto.
Ahora considere el caso en que n es un número impar. Hagamos el primer poder de la factorización de n.
$$\text{so }n = a_1^{p_1} \times a_2^{p_2} \times a_3^{p_3} \cdots \times a_k^{p_k}$$.
Donde, $a_1,a_2,\cdots,a_k$ son primos y $p_1,p_2,\cdots,p_k$ son de máxima potencia de la correspondiente primer presentes en $n$.
Ahora,
$$n^n = a_1^{p_1 \times n} \times a_2^{p_2 \times n} \times a_3^{p_3 \times n} \times a_k^{p_k \times n} $$
Ahora, sólo tenemos que utilizar el hecho de que un número es un cuadrado perfecto, iff todos los poderes en sus prime-poder-de la factorización son números pares.
Esto sugiere que todos los de $(p_1 \times n), (p_2 \times n), (p_3 \times n),\cdots, (p_k \times n)$ debe ser , incluso, a hacer $n^n$ un cuadrado perfecto.
Sin embargo, $n$ es un número impar de acuerdo a nuestra hipótesis inicial. Así que está claro que todos los de $p_1, p_2, p_3, \cdots, p_k$ debe ser par. (Ya extraño$ \times $impar no puede ser aún).
Pero $p_1,p_2,p_3,\cdots,p_k$ son las potencias del primer poder de la factorización de $n$. Ya que todos estos son, incluso, se sugiere que el $n$ también debe ser un cuadrado perfecto.
Por eso, $n^n$ es un cuadrado perfecto iff $n$ es incluso o $n$ sí es un cuadrado perfecto.
Para $n$ $1$ $100$inclusive, hay $50$ incluso números. Y $1, 9, 25, 49, 81$ son los cinco números impares que son cuadrados perfectos.
Por lo tanto, la respuesta es $55$.
Bryan Roth
Puntos
3592
Aquí están algunos consejos:
1) Cualquier número elevado a cualquiera incluso (entero positivo) de potencia es un cuadrado perfecto: $a^{2b} = (a^b)^2$.
2) Cualquier cuadrado perfecto elevado a cualquier (entero positivo) de potencia es un cuadrado perfecto: $(a^2)^b = a^{2b} = (a^b)^2$.
3) Los dos primeros indicios sugieren que se debe considerar por separado los casos en que $n$ es impar y $n$ es incluso.
Andrew Brown
Puntos
41
'$n^n$ es un cuadrado perfecto " significa que la raíz Cuadrada de este número es un número entero. Vamos a resolver esto para el caso de números pares e impares según lo sugerido por @pete:
Si $n$ es un número par, entonces podemos reemplazar$n$$2m \ \forall m=1,2 \ldots$; y por lo tanto se puede escribir $n^n$${(2m)}^{2m}$.Por lo tanto, $\sqrt {{(2m)}^{2m}} = {(2m)}^m$ que es un número entero.
Del mismo modo, si $n$ es impar, entonces se puede ajustar a $n$$2m+1 \ \forall m=0,1,2 \ldots$; y $\sqrt{{(2m+1)}^{2m+1}} = {(2m+1)}^{m+\frac{1}{2}} ={(2m+1)}^m \times \sqrt{2m+1}$ que es un número entero iff $n=2m+1$ ya es un cuadrado perfecto.
