Por fin! La persistencia da sus frutos. Esto se basa en Ken Brakke de la solución. Sin embargo, me las arreglé para simplificar un poco como el uso de sólo 6 números de grados-32 ($v_i$ a continuación), mientras que Brakke usa 7 ($a_{39}, a_{40}, a_{46}, a_{47}, a_{48}, a_{54}, a_{55}$ en su sitio), y también la simplificación de la $u_i$$x_i$. Por lo tanto,
$$\begin{aligned}
w_1&= 4\cos\Big(\frac{4\,\pi}{257}\Big) = u_1+\sqrt{u_1^2-4u_2} = 3.995219\dots\\
w_2&=4\cos\Big(\frac{64\,\pi}{257}\Big) = u_1-\sqrt{u_1^2-4u_2} = 2.837057\dots\\
\text{where,}\\
2u_1&=v_1+\sqrt{v_1^2-4(v_2+v_3)}\\
2u_2&=v_4+\sqrt{v_4^2-4(v_5+v_6)}\\
\text{and,}\\
2v_1&=x_1-\sqrt{x_1^2-4 (x_1 + x_2 + x_3 + x_6)}\\
2v_2&=x_2-\sqrt{x_2^2-4 (x_2 + x_3 + x_4 + x_7)}\\
2v_3&=x_8-\sqrt{x_8^2-4 (x_8 + x_9 + x_{10} + x_{13})}\\
2v_4&=x_9-\sqrt{x_9^2-4 (x_9 + x_{10} + x_{11} + x_{14})}\\
2v_5&=x_{10}-\sqrt{x_{10}^2-4 (x_{10} + x_{11} + x_{12}+x_{15})}\\
2v_6&=x_{16}-\sqrt{x_{16}^2-4 (x_{16} + x_1 + x_2 + x_5)}\\
\text{and,}\\
2x_1,\,2x_{9}&=y_1\pm\sqrt{y_1^2-4(t_1 + y_1 + y_3 + 2 y_6)}\\
2x_2,\,2x_{10}&=y_2\pm\sqrt{y_2^2-4(t_2 + y_2 + y_4 + 2 y_7)}\\
2x_3,\,2x_{11}&=y_3\pm\sqrt{y_3^2-4(t_1 + y_3 + y_5 + 2 y_8)}\\
2x_4,\,2x_{12}&=y_4\pm\sqrt{y_4^2-4(t_2 + y_4 + y_6 + 2 y_1)}\\
2x_5,\,2x_{13}&=y_5\pm\sqrt{y_5^2-4(t_1 + y_5 + y_7 + 2 y_2)}\\
2x_6,\,2x_{14}&=y_6\pm\sqrt{y_6^2-4(t_2 + y_6 + y_8 + 2 y_3)}\\
2x_7,\,2x_{15}&=y_7\color{blue}{\mp}\sqrt{y_7^2-4(t_1 + y_7 + y_1 + 2 y_4)}\\
2x_8,\,2x_{16}&=y_8\pm\sqrt{y_8^2-4(t_2 + y_8 + y_2 + 2 y_5)}\\
\text{and,}\\
2y_1,\,2y_5&=z_1\pm\sqrt{z_1^2+4(5 +t_1 +2 z_1)}\\
2y_2,\,2y_6&=z_2\color{blue}{\mp}\sqrt{z_2^2+4(5 +t_2 +2 z_2)}\\
2y_3,\,2y_7&=z_3\pm\sqrt{z_3^2+4(5 +t_1 +2 z_3)}\\
2y_4,\,2y_8&=z_4\color{blue}{\mp}\sqrt{z_4^2+4(5 +t_2 +2 z_4)}\\
\text{and,}\\
2z_1,\,2z_3&=t_1\pm\sqrt{t_1^2+64}\\
2z_2,\,2z_4&=t_2\pm\sqrt{t_2^2+64}\\
\text{and,}\\
t_1,\,t_2&=\frac{-1\pm\sqrt{257}}{2}\\
\end{aligned}$$
¡Uf! El $w_i, u_i, v_i, x_i, y_i, z_i, t_i$ del curso son números algebraicos de deg $2^7, 2^6, 2^5, 2^4, 2^3, 2^2, 2$, respectivamente. Uno puede ver algunos patrones, como por ejemplo cómo el 16 $x_i$ son tan ordenada expresada por el 8 $y_i$. Esta solución utiliza 24 de ecuaciones cuadráticas $1+2+6+8+4+2+1 = 24$, mientras que el uno por W. Obispo involucra $25$. No sé si puede ser reducido aún más.
