$S^2=SO(3)/SO(2)$. ¿Significa esto que la $S^2 = SU(2)/U(1) $ desde $SO(3) \approx SU(2)$$SO(2) \approx U(1)$? ¿Hay algo más genérico de la regla sobre cómo se relacionan $S^{n-1} = SO(n)/SO(n-1)$ a la correspondiente (especial) unitario grupos? También, hay una manera de escribir $S^{n-1}$ como un cociente de $Sp(n)$ $Spin(n)$ (por ejemplo, en dimensiones específicas)?
Respuesta
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En general, para identificar, por ejemplo, una suave colector $X$ con un coeficiente de $G/H$ de una Mentira grupo $G$ por un cerrado Mentira subgrupo $H$, usted necesita para producir una suave acción transitiva de $G$ $X$ con estabilizador $H$. Para el clásico compacto Mentira grupos existen tres series de acciones transitivas en esferas que van como este.
El especial ortogonal grupo $SO(n)$ actúa en $\mathbb{R}^n$ la preservación de la norma interna del producto. Naturalmente, esto induce un transitiva de acción en el ámbito de la unidad de $S^{n-1}$ con estabilizador $SO(n-1)$, y por lo tanto
$$S^{n-1} \cong SO(n) / SO(n-1).$$
Por otra parte, la natural mapa de $Spin(n) \to SO(n)$ significa que también podemos pensar en esta acción como una acción de $Spin(n)$; a continuación, su estabilizador resulta ser $Spin(n-1)$, y así también podemos identificar
$$S^{n-1} \cong Spin(n) / Spin(n-1).$$
Al $n = 3$ no es un excepcional isomorfismo $Spin(3) \cong SU(2)$, e $Spin(2)$ dentro $Spin(3)$ puede ser identificado con la diagonal copia de $U(1)$ dentro $SU(2)$. Tenga en cuenta que el mapa de $Spin(2) \to SO(2)$ es la multiplicación por $2$, frente a la mapa estándar $U(1) \to SO(2)$ que es un isomorfismo.
Del mismo modo, el especial de grupo unitario $SU(n)$ actúa en $\mathbb{C}^n$ la preservación de la norma interna del producto. Naturalmente, esto induce un transitiva de acción en el ámbito de la unidad de $S^{2n-1}$ con estabilizador $SU(n-1)$, y por lo tanto
$$S^{2n-1} \cong SU(n) / SU(n-1).$$
Finalmente, el pacto simpléctica grupo $Sp(n)$ actúa en $\mathbb{H}^n$ la preservación de la norma interna del producto. Naturalmente, esto induce un transitiva de acción en el ámbito de la unidad de $S^{4n-1}$ con estabilizador $Sp(n-1)$, y por lo tanto
$$S^{4n-1} \cong Sp(n) / Sp(n-1).$$
