Una confusión sobre los estados base de un sistema cuántico

Question

Me han dicho que los eigenkets de un operador de un espacio forman una base para el estado del sistema cuántico. La base propia obtenida a partir del operador de posición $\textbf{x}$ es el conjunto (continuamente) infinito $|x\rangle$ mientras que para un operador de momento angular general la base $|\ell,m\rangle$ es contablemente infinito, $|m|\leq \ell$ , $\ell\in\mathbb{N}_0$ . Esto es una contradicción, ya que en este caso la dimensión del espacio de estados no tiene una dimensión bien definida cardinalidad .

En este punto se podría decir que se trata de informaciones diferentes y que el estado total es una especie de producto directo de estos estados que se encuentran en espacios vectoriales diferentes. Pero también me han dicho que $\langle x|j,m\rangle=Y_l^m$ lo que significa que en realidad residen en el mismo espacio (porque tenemos su producto interior).

Entonces, ¿cuál es el espacio de estados de un sistema cuántico con ambos $x$ y el momento angular y cuál es la base correcta?

Answer 1

El espacio de estado es el espacio de la plaza de funciones integrables $L^2(\mathbb{R}^3)$. (Edit: en el siguiente he añadido la referencia a la función de onda radial) Una manera de obtener una base que abarca este espacio es combinar (es decir, tomar el producto tensor de) el momento angular de base $|l,m\rangle$ y un fundamento para que la función de onda radial (tales como las funciones propias del átomo de Hidrógeno). Esa base se determina la cardinalidad del espacio de estado para ser countably infinito.

Sin embargo, a veces es conveniente considerar un espacio más grande: el espacio de todas las funciones continuas $C(\mathbb{R}^3)$, el cual es atravesado por la posición de base $|x\rangle$, y por lo tanto tiene un mayor cardinalidad (Edit: este espacio es análoga a la aparejado el espacio de Hilbert que se refiere esta respuesta). Este espacio contiene funciones que tiene infinita norma, y por lo tanto no puede representar a los estados cuánticos, pero que todavía puede ser útil en nuestros cálculos.
Tomemos, por ejemplo, la función de onda $e^{i k x}$. Es parte de la $C(\mathbb{R}^3)$, pero no forma parte de $L^2(\mathbb{R}^3)$ debido a que no puede ser normalizado. Sin embargo, es muy útil el uso de esta función de onda en los cálculos, por ejemplo en la dispersión de la teoría. Una vez que sabemos cómo esta función de onda evoluciona con el tiempo, podemos utilizar la linealidad de la mecánica Cuántica para saber cómo cualquier superposición de tales wavefunctions evolucionan con el tiempo. El uso de la transformada de Fourier podemos expresar cualquier función en $L^2(\mathbb{R}^3)$ como una combinación lineal de funciones de la forma $e^{i k x}$, y por lo tanto hemos solucionado el tiempo de evolución de cualquier función de onda en $L^2(\mathbb{R}^3)$.

En conclusión, el uso de una función del espacio que tiene mayor cardinalidad es útil, siempre y cuando recordemos que en el final de los cálculos, tenemos que regresar al estado en el espacio que hemos empezado.

Answer 2

OP escribió(v3):

[...] Esto es una contradicción, ya que en este caso la dimensión del espacio de estados no tiene una cardinalidad bien definida.

El usuario twistor59 ya ha explicado en su respuesta que armónicos esféricos

$$Y_{\ell m}(\theta, \varphi)~=~\langle \theta, \varphi |\ell, m \rangle $$

viven en la biosfera $S^2$ parametrizado por las coordenadas $(\theta, \varphi)$ y cómo podemos ver $\mathbb{R}^3\backslash\{\vec{0}\}\cong ]0,\infty[\times S^2$ como una semilínea por una biesfera utilizando coordenadas esféricas $(r,\theta, \varphi)$ .

Así que en esta respuesta nos limitaremos a mencionar que la supuesta contradicción (al contar la dimensión del espacio de estados) tiene un análogo más sencillo para la esfera única $S^1\cong\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ es decir, el círculo. Recordemos que las funciones $\psi(\theta)=\psi(\theta+2\pi)$ en el círculo $S^1$ son funciones periódicas de alguna variable de posición angular $\theta\in[0,2\pi[$ . Una base contable $(|m\rangle )_{m\in\mathbb{Z}}$ es a través de la serie de Fourier

$$\psi(\theta)~=~\sum_{m\in\mathbb{Z}} c_m e^{im\theta}, \quad e^{im\theta} ~=~\langle \theta| m \rangle,\quad c_m~=~\langle m |\psi\rangle,\quad \psi(\theta)~=~\langle \theta |\psi\rangle.$$

El espacio de Hilbert es un $L^2$ -espacio $$H~:=~L^2(S^1)~\cong~\ell^2(\mathbb{Z})~:=~\left\{(c_n)_{n\in\mathbb{Z} } ~\mid~ \sum_{m\in\mathbb{Z}} |c_n|^2 < \infty\right\}, $$ que es isomorfo al conjunto de series cuadradas integrables. Véase también, por ejemplo este Puesto de Phys.SE.

Una base continua es $(|\theta\rangle )_{\theta\in[0,2\pi[}$ hace no pertenecen al espacio de Hilbert $H$ sino a la llamada espacio de Hilbert amañado . Véase también, por ejemplo este Puesto de Phys.SE. Así que no hay ninguna contradicción. Simplemente estamos hablando de dos espacios de estado diferentes. Esencialmente, la misma explicación (para la supuesta contradicción en el recuento de la dimensión del espacio de estados) también se aplica, por ejemplo, a la biesfera $S^2$ y el espacio triple $\mathbb{R}^3$ .

Answer 3

Los kets $|l,m\rangle$ que corresponden a los armónicos esféricos $Y_l^m$ son sólo los estados propios de la definición orbital momento angular (con respecto a algún origen). El operador de momento angular, en coordenadas cartesianas es $$ \hat{L}=\hat{R}\times\hat{P} =-i\epsilon_{ijk}x_j\frac{\partial}{\partial x^k} $$ Cambiando a polares esféricos, se puede definir el total de $l^2$ y el componente z $l_z$ operadores. Las funciones propias de estos 2 operadores son las funciones $Y_l^m$ . Estas funciones sólo dependen de $\theta$ y $\phi$ así que puedes pensar en ellos como si vivieran en la 2-esfera $S^2$ .

Ahora una función de onda de una partícula en $\mathbb{R^3}$ que es una función propia de $l^2$ y $l_z$ se puede factorizar como $$f(r)Y_l^m(\theta, \phi) $$ No todas las funciones de onda en $L^2(\mathbb{R^3})$ se puede escribir así, pero para cualquier función de onda se puede encontrar una expansión en términos de esta forma que converge a la función de onda. Así que esencialmente $$L^2(\mathbb{R^3}) = L^2({\mathbb{R_+}})\otimes L^2(S^2) $$ donde $L^2({\mathbb{R_+}})$ es el espacio de las funciones cuadradas integrables de la coordenada radial.

En la expresión $\langle x|l, m\rangle$ sólo estás tomando formalmente el producto interno de un estado propio de posición con uno de los estados propios de momento angular, es decir, escribiendo la representación de posición de un estado propio de momento angular, $f(r)Y_l^m(\theta,\phi)$

Así que para volver a la pregunta, el espacio de estado de una partícula con ambos $x$ información y el momento angular orbital es sólo $L^2(\mathbb{R^3})$ el espacio de estado de las funciones cuadradas integrables en $\mathbb{R^3}$ que puede descomponerse como se ha indicado anteriormente para obtener la parte del momento angular orbital.

Si, en su última frase, se refería más bien a girar momento angular, entonces estarías tensando los eigenestados de posición con los eigenestados de espín intrínseco para producir funciones de onda de espinores.