La ecuación
$$M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0$$
significa lo siguiente: que $x$ $y$ están relacionados de tal manera que
si queremos empezar en cualquier punto del $(x,y)$, y, a continuación, hacer un cambio infinitesimal $dx$$x$, entonces el cambio correspondiente en la $dy$ es tal que la expresión anterior es igual a cero.
Podría ser más fácil de entender si se reescribir esto como
$$M\bigl(x,y(x)\bigr) + N\bigl(x,y(x)\bigr) \dfrac{dy}{dx} = 0.$$ This means that $y$ is a function of $x$,
y el derivado $dy/dx$ satisface la ecuación anterior. Tiene el mismo significado que la anterior ecuación con $dx$ $dy$ separados.
Ahora supongamos que $M(x,y) =
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ and $N(x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).$
Entonces podemos reescribir la ecuación anterior como
$$\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x,y(x)\bigr) + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x,y(x)\bigr) \frac{dy}{dx} = 0,$$
que por la regla de la cadena es lo mismo que decir que
$$\frac{d f\bigl(x,y(x)\bigr)}{d x} = 0,$$
o, equivalentemente, que el $f\bigl(x,y(x)\bigr)$ es constante, como $x$ varía.
Su libro de texto frases de las cosas de manera ligeramente diferente, debido a que se está utilizando la primera versión de la ecuación diferencial: se escribe en lugar
$$\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) d x + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) dy = 0.$$
Ahora este es el cambio total en $f(x,y)$ al $x$ cambios $dx$ $y$ cambios $dy$.
Así que lo que esta ecuación dice es que si $x$ $y$ son relacionados de modo que el
los cambios de $dx$ $dy$ están relacionadas entre sí por la ecuación original,
a continuación, la cantidad de $f(x,y)$ no va a cambiar como $x$ (y, por tanto,$y$) de los cambios.
Así que no es la afirmación de que $f(x,y)$ es constante para todos los valores de $x$$y$;
más bien, ese $f(x,y)$ es constante, como $x$ $y$ cambiar de acuerdo a las restricciones de la ecuación original.
En resumen, $$f(x,y) =c$$
es una solución de la ecuación diferencial.
[Como lo que puedo decir, el razonamiento, tal como existe, en el texto que sigue el "por supuesto" es completamente falso; es discutir como si $dx$ $dy$ son independientes cantidades. Si estaban, es decir, si el cambio en $f(x,y)$ fueron de cero, no importa cómo se varió $x$$y$, entonces, de hecho, $f(x,y)$ sería constante para todos los valores de $x$$y$, pero entonces la ecuación diferencial no sería muy interesante, ya que los $M$ $N$ sí sería el cero de las funciones. Más bien, la d.e. afirma que el cambio en la $f(x,y)$ es cero si variamos $x$ $y$ en algunos relacionados con la forma, y la conclusión a la que uno quiere dibujar es la que más me llamó la anterior, es decir, que $f(x,y)$ es constante al $x$ $y$ variar de acuerdo a la limitación particular de la d.e.
Permítanme darles un ejemplo: podríamos tomar a $f(x,y) = xy$, sólo para elegir uno de
la infinidad de diferentes funciones de $f(x,y)$ de dos variables que se
podría escribir.
A continuación,$M = y$$N = x$, y la d.e. es
$$ y dx + x dy = 0,$$
o, en la segunda forma en que la escribí,
$$y + x \frac{dy}{dx} = 0.$$
Ahora las soluciones está dado por
$x y = c$, es decir, por
$$y = \frac{c}{x},$$
para una constante arbitraria $c$. (Cheque).
Tenga en cuenta que no es ciertamente verdadero que las derivadas parciales de $f$, es decir,$M$$N$, se desvanecen de forma idéntica!
Así que una (ligeramente sarcástico) respuesta a la pregunta de por qué un autor escribe que "por supuesto" es que
este es matemático de la taquigrafía para la realización de una injustificada, la afirmación de que es
muy posiblemente mal!]
