Para un entero impar $n$, encontramos una explícita isomorfismo entre el$\mathbb{Z}^{\times}_n$$\mathbb{Z}^{\times}_{2n}$.
¿Cómo puedo hacer esto? Realmente no sé por dónde empezar. Fácilmente puedo encontrar bijections pero estoy todavía para encontrar una estructura de preservar uno.
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Bryan Roth
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Si $R$ es cualquier anillo, vamos a $R^{\times}$ ser de su grupo de unidades. Entonces si
$f: R \rightarrow S$
es un anillo homomorphism, se restringe a un grupo homomorphism
$f^{\times}: R^{\times} \rightarrow S^{\times}$
en la unidad de los grupos. Aquí tienes un natural (es decir, el cociente) mapa
$f: \mathbb{Z}/2n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
por lo $f^{\times}$ es un homomorphism entre dos grupos finitos que desea mostrar son isomorfos. Ya que son finitos y le dicen que ya saben que tienen el mismo orden, se encuentran en un buen lugar: basta para mostrar ya sea que $f^{\times}$ es inyectiva o que $f^{\times}$ es surjective. Darle una oportunidad.
(Pero, para estar seguro de que, si $f^{\times}$ es de hecho un isomorfismo, que presumiblemente muestran que es a la vez inyectiva y surjective desde cero, así que usted realmente no necesita saber que $\varphi(2n) = \varphi(n)$ por extraño $n$ por adelantado -- esto no es en absoluto difícil de ver).
Por cierto, el estudio de la inyectabilidad/surjectivity de $f_{m,n}^{\times}$ donde
$f_{m,n}: \mathbb{Z}/mn \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$
es un buen ejercicio, en general-es decir, para cualquier $m,n \in \mathbb{Z}^+$. Es una buena mezcla de álgebra y teoría de números.
David HAust
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SUGERENCIA $\: $ Es muy fácil. El cociente natural mapa de $\rm\ a+2\:n\ \mathbb Z\ \mapsto\ a+n\ \mathbb Z\ $ es surjective (así inyectiva) en las unidades, $\:$ desde $\rm\:n\:$ extraño $\:\Rightarrow\: $ $\rm\:a,\ a+n\:$ es impar, $\:$, por lo que es coprime a $\rm\:2\:n\iff$ coprime a $\rm\:n\:.$
Oli
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La siguiente solución es de hormigón en el extremo. Mira el ejemplo en particular $n=15$. Entonces los elementos de a $\mathbb{Z}^\times_n$ puede ser pensado como la de los números $1$, $2$, $4$, $7$, $8$, $11$, $13$, y $14$, en virtud de la multiplicación modulo $15$. Del mismo modo, los elementos de
$\mathbb{Z}^\times_{2n}$ puede ser pensado como la de los números $1$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$ en virtud de la multiplicación modulo $30$. Tenga en cuenta que estos números son impares.
Lo que debería de ser nuestro intento de isomorfismo $\phi$ do a los elementos de la $\mathbb{Z}^\times_n$? La idea es enviar a $k$ a algo que es "como" $k$ como sea posible. Obviamente $\phi$ debe enviar$1$$1$. Lo que debe $\phi(2)$? El único elemento de $\mathbb{Z}^\times_{2n}$ que es congruente a $2$ modulo $n$$2+15$, por lo que es razonable para enviar a$2$$17$.
En general, supongamos que $1 \le k \le 14$, e $k$ es relativamente primer a $15$. Entonces si $k$ es impar, dejamos $\phi(k)=k$. Y si $k$ es incluso, dejamos $\phi(k)=k+15$.
Es fácil ver que $\phi$ es un bijection. Queda por demostrar que $\phi(ij)=\phi(i)\phi(j)$. Este se divide naturalmente en $3$ casos: (i) $i$, $j$ ambos impares; (ii) $i$, $j$ ambos inclusive; y (iii) uno de ellos es impar y el otro es aún.
Fuera de la impaciencia, las hacemos todos juntos. Tenga en cuenta que por la definición de $\phi$,$\phi(ij) \equiv \phi(i)\phi(j) \pmod{n}$. Pero además, desde la definición, $\phi(ij) \equiv \phi(i)\phi(j) \pmod{2}$, ya que en cada lado se tiene un número impar. De ello se desprende que $\phi(ij) \equiv \phi(i)\phi(j)\pmod{2n}$, que es exactamente lo que queremos.
La idea se generaliza inmediatamente a cualquier extraño $n$. No sé qué notación se utiliza para los elementos de $\mathbb{Z}^\times_n$. Voy a suponer que usted utilice la notación $i/(n)$ para la clase de equivalencia de a $i$.
Mira la clase de equivalencia $i/(n)$ donde $1 \le i \le n-1$. Si $i$ es impar, vamos a $\phi(i/(n))=i/(2n)$. Si $i$ es incluso, deje $i'=i+n$, y deje $\phi(i/(n))=i'/(2n)$. Es sencillo mostrar que $\phi$ es un isomorfismo de$\mathbb{Z}^\times_n$$\mathbb{Z}^\times_{2n}$.
Ahora que usted tiene un hormigón de la imagen de lo que está sucediendo, usted puede comenzar a entender más soluciones abstractas, y apreciar su elegancia.
