Supongamos $M, N$ son dos contables modelos transitivos de ZFC que tienen el mismo ordinales, cofinalities y reales (pero no necesariamente los mismos conjuntos de reales!). Supongamos $M$ modelos de la hipótesis continua. Podemos concluir que el $N$ también modelos hipótesis continua? Puedo ver que si esto falla, entonces ninguno de los dos $M, N$ está incluido en el otro. Pero lo que si $M, N$ son incomparables.
Respuesta
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DanV
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Esto es posible. Permítanme en primer lugar darle una estrecha resultado por Philipp Schlicht y yo, y, a continuación, dar el resultado relevante por Woodin.
Deje $V$ ser el primer modelo de Cohen. Es decir, agregar $\omega$ Cohen reales de a $L$ y tomar el finitary permutaciones de $\omega$ aplicado a "cambiar" los reales, y todos los conjuntos definibles a partir de un número finito de reales y el conjunto de Cohen reales. A continuación, $A$ es el conjunto de Cohen reales es Dedekind-infinito.
Si $\kappa$ es cualquier infinitas $\aleph$ cardenal, a continuación, forzar el uso de finito inyecciones de $A$ $\kappa$recupera elección y, de hecho, nos da ese $A$ es el filtro genérico para la adición de $\kappa$ Cohen reales sobre $L$. En particular, no cofinalities se han cambiado.
Este es un trabajo lento progreso. Pero esto demuestra que usted puede tener más Cohen reales por olvidar cómo contar en primer lugar, y luego tratar de contar de una manera diferente. Nuestros resultados, sin embargo, no es lo que están pidiendo, porque una vez que usted se mueve de Dedekind-conjunto finito de reales a un Dedekind-infinito conjunto de reales invariablemente agregar nuevos reales.
En una conversación con Woodin hace aproximadamente un mes, que he mencionado en este resultado, y él me dijo que hace unos 30 años demostró que el siguiente (y nunca se publicó):
Para cualquiera de los innumerables $\kappa$, $L(\Bbb R)^{L^{\operatorname{Add}(\omega,\kappa)}}$ es el mismo. En particular, si usted comienza con $L$, añada $\omega_1$ Cohen reales, considere la posibilidad de $L(\Bbb R)$ [que es un modelo de $\sf DC$], usted puede recuperar elección sin la adición de reales por orden de $\Bbb R$ en sin embargo a ti te gusta ser ordenado.
Esto significa que usted tiene una gran cantidad de diferentes modelos con el mismo ordinales, cofinalities, y reales, pero en los diferentes modelos que tienen diferentes reales. Que es lo que quería.
