Subgrupos entre $S_n$ y $S_{n+1}$

Question

Veamos $S_n$ como subgrupo de $S_{n+1}$ . ¿Cuántos subgrupos $H$ , $S_{n} \subseteq H \subseteq S_{n+1}$ Hay

Answer 1

Ninguna.

Dejemos que $S_n<H<S_{n+1}$ y supongamos que $H$ contiene un ciclo $c$ con $n+1$ , digamos que $$ c=(a,\cdots,b,n+1). $$ Entonces, componiendo a la izquierda con una permutación adecuada $\sigma\in S_n<H$ tal que $\sigma(a)=b$ tenemos $$ \sigma c=\sigma^\prime (b,n+1) $$ donde $\sigma^\prime(n+1)=(n+1)$ es decir $\sigma^\prime\in H$ . Así, la transposición $(b,n+1)$ está en $H$ . Por supuesto, podemos suponer que $b=1$ y así todas las transposiciones $(1,2)$ , $(1,3)$ , ..., $(1,n+1)$ están en $H$ . Se sabe que estas transposiciones generan $S_{n+1}$ .