Computación

Question

¿Cómo puedo evaluar la siguiente integral?

$$I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{2-\sin{2x}}dx$$

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He probado con Wolfram Alpha, me dio una solución numérica: $0.785398$.
Aunque sé inmediatamente que es igual a $\pi /4$, no obtener la respuesta con lápiz y papel.
Intenté utilizar sustitución $u=\tan{x}$, pero yo no porque el límite superior de la integral es $\pi/2$ y $\tan{\pi/2}$ es indefinido.
Entonces, ¿cómo vamos a evaluar esta integral? Gracias.

Answer 1

Sugerencia:

Saber que $\sin2x=2\sin x\cos x$ y $\sin^2x+\cos^2x=1$. El integral se puede expresar como

\begin{equation} I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+(\sin x-\cos x)^2}\ dx \end{equation}

entonces utilice la sustitución $x\mapsto\frac{\pi}{2}-x$, tenemos

\begin{equation} I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{1+(\sin x-\cos x)^2}\ dx \end{equation}

Añadir el % de dos #% de #% y dejar $I$.

Answer 2

Aquí es un enfoque paso a paso. :)

$$\begin{align} I &= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{2-\sin{2x}}dx \\ &= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{2-2 \sin x \cos x}dx \\ &= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{1+\cos^2 x -2 \sin x \cos x + \sin^2 x}dx \\ &= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx \\ &= \frac{1}{2} \left( \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx + \int_0^{\pi/2}\frac{\sin{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x} + \sin{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx \\ &= -\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2}\frac{d(\cos{x} - \sin{x})}{1+(\cos x - \sin x)^2}\\ &= -\frac{1}{2}\arctan(\cos{x}-\sin{x})|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{\pi}{4} \end {Alinee el} $$

Answer 3

Escribo simplificar. $$ = \int\frac {d\sin (x-\pi 4)} {\sin^2(x-\pi/4) 2 + 1} $$ antes que él, use $ u=\pi/2 $ para obtener el numerador $\sin x $ y $\cos x$ es el mismo valor.

Answer 4

Sugerencia:

1) $\sin 2x=2\sin x \cos x$

2) $\sin x =\frac {2t}{1+t^2}$

$\cos x =\frac {1-t^2}{1+t^2}$

$dx=\frac{2dt}{1+t^2}$

Answer 5

Utilizar %#% $ #%

y $$I=\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$ $

$$2I=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bf(a+b-x)dx=\int_a^b\left(f(x)+f(a+b-x)\right)dx$$

$$2I=\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos x+\sin x}{2-\sin2x}dx$

que $\int(\cos x+\sin x)\ dx=\sin x-\cos x,$

¿Lo puede tomar desde aquí?