¿Qué es una función theta simulada?

Question

Definimos una función theta simulada como sigue:

Una función theta simulada es una función definida por un $q$ -serie convergente cuando $|q|<1$ para el que podemos calcular fórmulas asintóticas cuando $q$ tiende a un punto racional $e^{2\pi ir/s}$ del círculo unitario del de la misma precisión que las proporcionadas para el círculo ordinario $\theta$ -por la teoría de la transformación lineal.

Quiero entender esta definición. En consecuencia, si tenemos un punto racional en la circunferencia unitaria, ¿qué ocurre exactamente? ¿Puede alguien explicarlo?

Answer 1

Desde 2008, la comunidad de la teoría de números se ha decantado por una definición un poco más "científica" de la función theta simulada. Sin embargo, dado el contexto en el que has hecho la pregunta, no asumo que quieras la definición técnica de la parte holomorfa de una forma débil de Maas (sea lo que sea que signifique, solo necesito decir esto para evitar que los trolls me acusen de hacer gamberradas).

Para entender lo que Ramanujan está pensando, mira la función theta prototípica cuando $s=1$ y $r=0$ y $q=e^{-t}$ $$ f(e^{-t}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty } e^{-tn^2} = \sqrt{\frac{\pi}{t}}\sum_{n=-\infty}^{\infty } e^{-\frac{n^2}{t}} =\sqrt{\frac{\pi}{t}}f(e^{-\frac{1}{t}}) $$ donde se puede calcular la segunda identidad mediante la suma de Poisson. Esta fórmula es elegante de dos maneras.

1) Tenemos una fórmula asintótica $f(e^{-t})\approx \sqrt{\frac{\pi }{t}}$ con lo que el error en esta aproximación es muy muy pequeño. El siguiente término más grande en la suma es cuando $n=\pm1$ que por ejemplo $t=.1$ es de tamaño $10\sqrt{\pi}e^{-10}\approx 2.5*10^{-5}$ cuando $t=.01$ este término más grande es $6.59*10^{-45}.$ Esto es lo que quiere decir con "fórmulas asintóticas" con "precisión theta"

2) La fórmula es muy compacta y precisa, relacionando $t\to -\frac{1}{t}.$ De hecho,

Lo dejaré para que lo pruebes pero puedes conseguir una fórmula para $e^{-t}e^{2\pi i \frac{r}{s}}.$ Siempre verás $f(e^{-t+ 2\pi i \frac{r}{s}})$ tener una fórmula muy buena para estimar $f(q)$ cuando $t$ es pequeño. Si eres más cuidadoso encontrarás un patrón o un sistema para calcular estas estimaciones relacionadas con las transformaciones lineales fraccionarias $(az+b)/(cz+d)$ si dejas que $t=\pi i z.$ Esta es la parte de las transformaciones lineales a la que se refiere.

Ahora enumera varios objetos que se comportan como funciones theta en el mismo sentido que hemos descrito pero que claramente no lo son $q$ a una especie de cuadrado por lo que no las llamaríamos funciones theta. Por lo tanto, son funciones theta falsas. Te daré una Ejemplo del teorema 2.1 lo que probablemente puede ver que es muy complejo.