Tenemos $\operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)$ y $\det(AB) = \det(A) \det(B)$. ¿Hay alguna identidad análogo para los otros coeficientes de la característica polinomial?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La "correcta" la generalización de la multiplicativity de la determinante, en mi opinión, es el functoriality del exterior poderes. Es decir, si $V$ es un espacio vectorial de dimensión $n$ $T : V \to V$ es una transformación lineal, entonces la transformación lineal $\Lambda^n(T) : \Lambda^n(V) \to \Lambda^n(V)$ es la multiplicación por $\det(T)$, y el functoriality de $\Lambda^n$ en este caso, dice, precisamente, que son los factores determinantes de multiplicativas.
La conexión a los coeficientes del polinomio característico es que el $k^{th}$ coeficiente es dado por $(-1)^k \text{tr}(\Lambda^k(T))$. Lo que pasa desde el exterior poderes para que sus trazos se pierde información (y esto es malo para las identidades porque el exterior poderes son "multiplicativo" en un cierto generalizado, mientras que la traza es aditivo) y para restaurar el buen propiedades que necesita para trabajar con toda la potencia exterior.
Si usted trabaja con toda la potencia exterior, entonces el caso más general, cosa que se puede decir (utilizando functoriality) es que si $U, V, W$ son tres espacios vectoriales y $T : U \to V, S : V \to W$ son dos transformaciones lineales, entonces $$\Lambda^k(S \circ T) = \Lambda^k(S) \circ \Lambda^k(T)$$
como lineal de operadores de $\Lambda^k(U) \to \Lambda^k(W)$. Recoger las bases de $U, V, W$ y anotar las correspondientes matrices de $T, S$, junto con los correspondientes bases y matrices en el exterior de poderes, a continuación, le da un lugar complicado de identidad (que es por qué es más fácil el uso de esta invariante en lugar de la notación).
Un caso especial, que podría ser más comprensible que el caso general es al $U = V = W$ tiene dimensión $n$$k = n-1$. En este caso vamos a recuperar (más o menos) la multiplicativity de la adjunta. Este es un dolor para escribir de manera explícita y no creo que usted va a aprender nada de hacerlo, pero si quieres intentarlo de todos modos, tome $n = 3$.
Andrius Kulikauskas
Puntos
1
Que es básicamente el tema de mi tesis doctoral: "Simétrico funciones de los valores propios de a matriz".
http://www.selflearners.net/uploads/AndriusKulikauskasThesis.pdf
Los otros coeficientes están dados por las funciones simétricas elementales.
