Lo que hay más allá de los Sedenions

Question

En la construcción de tipos de números, tenemos la siguiente secuencia:

$$\mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H} \subset \mathbb{O} \subset \mathbb{S}$$

o:

$$2^0 \mathrm{-ions} \subset 2^1 \mathrm{-ions} \subset 2^2 \mathrm{-ions} \subset 2^3 \mathrm{-ions} \subset 2^4 \mathrm{-ions} $$

o:

"Reales" $\subset$ "Complejo" $\subset$ "Cuaterniones" $\subset$ "Octonions" $\subset$ "Sedenions"

Con las siguientes "propiedades":

• De $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ se gana la "clausura algebraica" (pero se desecha el ordenamiento).
• De $\mathbb{C}$ a $\mathbb{H}$ descartamos la conmutatividad.
• De $\mathbb{H}$ a $\mathbb{O}$ desechamos la asociatividad.
• De $\mathbb{O}$ a $\mathbb{S}$ descartamos la normalidad multiplicativa.

La pregunta es, ¿qué hay en el lado derecho de $\mathbb{S}$ y qué se pierde cuando se pasa de $\mathbb{S}$ a uno de estos objetos?

Answer 1

De lo que está hablando es precisamente de la Construcción Cayley-Dickson.

Observación: Me queda la duda de qué se gana pasando de los Octonions. Los 4 primeros son muy especiales ya que son las 4 únicas álgebras de división normadas sobre $\mathbb{R}$ . Quizás alguien con más conocimientos pueda señalar los posibles usos de los Sedenions y sus homólogos superiores.

Answer 2

Si con "más allá" te refieres a algo así como "después" la respuesta es sí: la construcción de Cayley-Dickson no tiene fin y siempre puedes extender tu sistema numérico a uno de mayor dimensión (siempre con $2^n$ dimensiones con $n\in \Bbb N$ ), después de Sedenions $\Bbb S$ venir Trigintaduonions $\Bbb T$ que alguien dice que son útiles en la ingeniería eléctrica e informática (no entiendo muy bien cómo) pero no pierden ninguna otra propiedad más que los sedeniones, este conjunto y los otros que vinieron después no son muy interesantes (con un punto de vista sólo matemático) por eso, sólo tienen algunos subgrupos que se parecen a los sedeniones.

Si con "más allá" te refieres a algo así como "más allá de" la respuesta sigue siendo afirmativa: hay un montón de números hipercomplejos con sistema de 16 dimensiones como la extensión de teselas, duales y número hiperbólico, etc.

Answer 3

Creo que John Baez ha respondido a tu pregunta en una serie de artículos/blogs cortos que podrías empezar por ejemplo aquí .

Answer 4

Se pueden construir teselas de cualquier dimensión del for $2^n$ . Seguirán siendo conmutativas y asociativas. Esto se utiliza en el procesamiento de señales digitales.

La construcción de Cayley-Dickson, utilizada en los cuaterniones, en cambio, pierde la mayoría de sus propiedades útiles con el crecimiento del número de dimensiones.