¿Hay un número tan grande que nunca podríamos calcular?

Question

Tenga en cuenta que he editado este post significativamente para hacerla más clara (tan clara como creo que yo podría hacerlo). En primer lugar, permítanme mencionar lo que yo NO estoy preguntando:

• NO estoy preguntando por el mayor número que podemos calcular.
• NO estoy preguntando si hay una mayor cantidad (si la hubo, sólo tiene que añadir uno y sería más grande, por lo que obviamente esto es falso)
• NO estoy pidiendo algo como "división por cero" o por los límites ("infinito" no es una respuesta, que no es un número)

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He estado pensando mucho acerca de los números y pongo un par de números en Wolfram Alpha sólo para ver qué pasa. Puede manejar increíblemente grandes números, pero no tan pronto como usted pone en $10! ^ {10!}$. Después de pensar un par de días, creo que debe ser un número más grande que podríamos jamás calcular o definir. De hecho, creo que hay un número infinito de números mayores que cualquier cosa que jamás podría calcular (estoy diciendo que los números más grandes que existen, pero no podemos hacer nada con ellos, excepto, tal vez, demostrar que hay un número tan grande que no se puede calcular de ellos).

Me refiero a un número o una ecuación que resulta en un número exacto (como $x!^{x!^{x!^{x!^{x!^{...}}}}}$ donde $x$ es un número exacto que puede ser escrito) creo que hay un límite de aquí. Hay un número más grande posible, porque sólo hay tantos átomos en el universo observable. Pero ¿cómo se podía probar esto (que no son números tan grande que no podía definir ellos)? Hay alguna información sobre esto?

Curiosamente, los números irracionales utilizamos, ellos siempre tienen una forma alternativa de escribir, de tal modo que la respuesta es exacta. Uno puede simplemente escribir lo infinitamente largo número irracional que es la raíz cuadrada de dos,$\sqrt 2$. Dos de los símbolos y de definir el infinitamente número largo que es la raíz cuadrada de $2$. Se pueden utilizar las fórmulas para hallar $\pi$. Pero, ¿no hay números que no podíamos hacer eso? No hay números que no se podía escribir en alguna forma, tales como cómo escribimos $\sqrt 2$? Tal forma que el número es exacto? Creo que estos números deben existir, pero no podemos hacer nada con ellos. Pero no tengo idea de cómo se podría demostrar que o si hay alguna información con respecto a estos números. Así que mi pregunta es: ¿hay números que son demasiado grandes (o demasiado precisa) que no podemos escribirlas en cualquier forma que expresa su valor exacto?

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ACTUALIZACIÓN:

Accidentalmente, me encontré con algo que realmente ayuda con mi pregunta. He encontrado este artículo aquí, y vi el punto #6:

Incognoscible Cosa: no Hay números que no pueden ser calculadas.

Esta es otra mente bender demostrado por Alan Turing.

Que es exactamente lo que estoy hablando! Voy a hacer un poco de investigación sobre Alan Turing!

Answer 1

Se puede demostrar que en el contexto de ordinario matemáticas (decir ZFC) hay infinitamente muchos bien especificado enteros positivos cuya numérico representaciones no puede ser probado. E. g., para cada $n \ge 10\uparrow\uparrow 10$, el Busy Beaver número $\Sigma(n)$ está bien definido y tiene algunas representación decimal $d_1d_2...d_k$, pero no existe ninguna prueba de que $\Sigma(n) = d_1d_2...d_k$. No es que la prueba o la cadena de dígitos es simplemente inviable debido a las limitaciones de recursos; por el contrario, una prueba es una imposibilidad lógica.

Aquí están algunos relevante fuentes en línea:

• El artículo de la Wikipedia sobre Σ, la complejidad y la unprovability.

• Esta respuesta a las matemáticas.SE pregunta Cómo puede Busy beaver($10 \uparrow \uparrow 10$) no tienen comprobable límite superior?.

• Pascal Michel de la página web en la Ocupada castores y unprovability.

NB: En relación con la computabilidad de los números, tenga en cuenta que un uncomputable número no puede ser un número entero (porque cada entero tiene una finalidad meramente finito representación, a diferencia de la situación de los números reales). Es por eso que el "computable-pero no demostrable" resultados mencionados anteriormente parecen especialmente conmovedor, ya que se aplican específicamente a los enteros positivos, sin complicar la situación con infinidad de objetos, tales como las representaciones digitales de uncomputable los números reales.

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En una completamente diferente (y mucho más mundano) sentido, una representación digital de un número entero positivo puede ser "demasiado grandes para calcular" por razones de inviabilidad física implícita por la supuesta leyes de la física:

• Una absoluta límite superior en cualquier ordenador de la velocidad de operación es $1/t_{Planck} = \sqrt{\frac{c^5}{Gh}}\ \lessapprox\ 2\cdot 10^{43}\ \tt{bits}\ \tt{per}\ \tt{second}.$
• Una absoluta límite superior en cualquier equipo de la capacidad de almacenamiento es
  $Volume_{observable\ universe} /l^3_{Planck}\ \lessapprox\ 9 \cdot 10^{184} \ \tt{bits}.$

Ver el artículo de la Wikipedia sobre los límites Físicos a la computación, y también el absoluto de los límites mencionados en el enlace proporcionado en el artículo sobre Bremermann del límite.

Answer 2

Es necesario definir qué entiende usted por el cálculo de un número. Recuerdo que encontrar un sitio web con un programa de "calcular un googleplex". Lo que el programa realmente hizo fue una salida de $1$, seguido por $10^{100}$ ceros. Es que el cálculo de un googleplex? Lo que realmente tiene que multiplicar $10$, de por sí, que muchas veces? Si usted hace una definición rigurosa, que entran en conflicto con la paradoja de Berry. Si no, la pregunta no tiene una respuesta. Dada una forma para calcular el $N$, puedo calcular el $N+1$ en la forma obvia. Cuando se mueve de a enteros reales, usted tiene el resultado adicional de que casi todos los reales no puede ser definida, simplemente porque no son sólo countably muchas definiciones y hay una cantidad no numerable de reales.

Answer 3

Una condición necesaria para ser capaz de calcular un número es que podemos especificar un cálculo cuyo resultado es que el número.

Si aceptamos r.e.s.'s figura que el universo no puede contener más de $10^{185}$ bits, esto significa que $$ \text{the first number whose Kolmogorov complexity is}\ge 10^{185}+1$$ no puede ser producido en cualquier manera determinista, en cualquier sistema de notación.

(No es solo que si tenemos ese número en nuestras manos, no podemos demostrar que responde a la descripción anterior-a pesar de que es cierto. Es que es imposible "tienen ese número" de alguna manera significativa, incluso sin saber que satisface la definición).

Answer 4

Para los cálculos, es la memoria de la computadora y cómo se almacenan los números que es el límite.

Simple uso de programas de 32 bits o de 64 bits enteros, mientras que el complejo programa de uso de una cadena de enteros. Pero incluso la cadena de enteros dependen de la cantidad de memoria disponible.

El número de $10!^{10!}$ requeriría alrededor de 52 Mb de memoria para almacenar el número, por no hablar de la auxiliar de números que pueden aparecer en una recursividad paso.

El número de $10!^{10!}$ sobre $54810892$ dígitos en el número, así que sí - tales números requieren mucha memoria.

Un número como $15!^{15!}$, sería necesario acerca de $33 Tb$ - a pensar 33 TERABYTE! La mayoría de los equipos ni siquiera podía almacenar un número en la HD!!!

Answer 5

Graham número.

Graham número es mucho mayor que el de muchas otras grandes números como un googol, googolplex, Skewes el número y Moser número. De hecho, como en los dos últimos de esos números, el universo observable es demasiado pequeño para contener ordinaria de la representación digital de Graham número, suponiendo que cada dígito ocupa uno de Planck volumen. Incluso torres de energía de la forma $ a ^{ b ^{ c ^{ \cdot ^{ \cdot ^{ \cdot}}}}}$ son insuficientes para este propósito, aunque puede ser descrito por recursiva fórmulas mediante Knuth de la flecha hacia arriba de la notación o equivalente, como se ha hecho por Graham. El pasado 12 dígitos de Graham número de ...262464195387.