Soluciones del número entero de $\log a \log b = \log c \log d$

Question

Cuatro enteros positivos $a,b,c,d>1$ $\log a \log b = \log c \log d$ a satisfacer. ¿Es necesariamente % o $\frac{\log a}{\log c} \in \mathbb{Q}$ $\frac{\log a}{\log d} \in \mathbb{Q}$?

He intentado utilizar el teorema de Gelfond-Schneider y Teorema de Lindemann – Weierstrass de teoría de la trascendencia pero no funcionó.

Answer 1

Sí, pero sólo puedo hacerlo con algo más pesado, es decir, Schanuel de la conjetura, o más precisamente, el siguiente corolario.

Teorema (condicional en Schanuel de la conjetura): Vamos a $p_1, p_2, \dots$ ser el de los números primos. A continuación, $\log p_1, \log p_2, \dots$ son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}$.

Prueba. Por única factorización en primos, $\log p_1, \log p_2, \dots$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$. Ahora aplicar Schanuel la conjetura con $z_i = \log p_i$ para todos los $n$. $\Box$

Si $a$ es cualquier entero positivo, entonces la expansión fuera de $\log a$ usando la factorización prima de $a$ nos permite escribir como una lineal homogénea polinomio en las variables $\log p_i$ (con coeficientes racionales). Por lo tanto la identidad

$$\log a \log b = \log c \log d$$

afirma que algunos homogénea de segundo grado polinomio en las variables $\log p_i$ (con coeficientes racionales) tiene dos factorizations en factores lineales, que necesariamente debe estar de acuerdo a una permutación y la multiplicación escalar debido a que el anillo de $\mathbb{Q}[\log p_i]$, siendo un polinomio de anillo, es un disco flash usb.