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Soluciones del número entero de logalogb=logclogd

Cuatro enteros positivos a,b,c,d>1 logalogb=logclogd a satisfacer. ¿Es necesariamente % o logalogcQ logalogdQ?

He intentado utilizar el teorema de Gelfond-Schneider y Teorema de Lindemann – Weierstrass de teoría de la trascendencia pero no funcionó.

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Matt Dawdy Puntos 5479

Sí, pero sólo puedo hacerlo con algo más pesado, es decir, Schanuel de la conjetura, o más precisamente, el siguiente corolario.

Teorema (condicional en Schanuel de la conjetura): Vamos a p1,p2, ser el de los números primos. A continuación, logp1,logp2, son algebraicamente independientes sobre Q.

Prueba. Por única factorización en primos, logp1,logp2, son linealmente independientes sobre Q. Ahora aplicar Schanuel la conjetura con zi=logpi para todos los n.

Si a es cualquier entero positivo, entonces la expansión fuera de loga usando la factorización prima de a nos permite escribir como una lineal homogénea polinomio en las variables logpi (con coeficientes racionales). Por lo tanto la identidad

logalogb=logclogd

afirma que algunos homogénea de segundo grado polinomio en las variables logpi (con coeficientes racionales) tiene dos factorizations en factores lineales, que necesariamente debe estar de acuerdo a una permutación y la multiplicación escalar debido a que el anillo de Q[logpi], siendo un polinomio de anillo, es un disco flash usb.

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