Sí, pero sólo puedo hacerlo con algo más pesado, es decir, Schanuel de la conjetura, o más precisamente, el siguiente corolario.
Teorema (condicional en Schanuel de la conjetura): Vamos a p1,p2,… ser el de los números primos. A continuación, logp1,logp2,… son algebraicamente independientes sobre Q.
Prueba. Por única factorización en primos, logp1,logp2,… son linealmente independientes sobre Q. Ahora aplicar Schanuel la conjetura con zi=logpi para todos los n. ◻
Si a es cualquier entero positivo, entonces la expansión fuera de loga usando la factorización prima de a nos permite escribir como una lineal homogénea polinomio en las variables logpi (con coeficientes racionales). Por lo tanto la identidad
logalogb=logclogd
afirma que algunos homogénea de segundo grado polinomio en las variables logpi (con coeficientes racionales) tiene dos factorizations en factores lineales, que necesariamente debe estar de acuerdo a una permutación y la multiplicación escalar debido a que el anillo de Q[logpi], siendo un polinomio de anillo, es un disco flash usb.