Supongo que $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es liso y $|\nabla f (x)| = 1$. ¿Debe ser lineal (hasta una constante aditiva) $f$? ¿Es decir, debemos tener $f(x) = a\cdot x +b$ constante $a,b\in\mathbb{R}^n$ $|a| = 1$?
Respuesta
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Sí, esto es cierto: suave global de soluciones de la ecuación eikonal son afines. La prueba es similar a la Solución de la ecuación eikonal a nivel local es la distancia de una hipersuperficie, hasta una constante. Va como esto:
- Por el valor medio teorema, $f$ $1$- Lipschitz.
- Las trayectorias de más escarpado ascenso/descenso, es decir, soluciones de la ODE $x'(t)=\nabla f(x(t))$ hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, son líneas rectas. De hecho, a lo largo de dicha curva que nos han $$|x(t)-x(s)| \ge |f(x(t))-f(x(s))|=|t-s|$$ de la cual, la curva que se está unidad de velocidad, implica que es una línea.
- Deje $\Gamma$ ser de cualquier nivel de la superficie de $f$ (WLOG, $G=\{f=0\}$), y $L$ una línea normal a este conjunto. Por el artículo 2 de arriba, $L$ un camino ascensional/descenso. Elija coordenadas para que $L$ $x_1$- eje. La restricción de $f$ $L$es $x_1$ o $-x_1$. El $1$-Lipschitz condición implica $\operatorname{dist} (te_1,\Gamma)=|t|$ todos los $t\in\mathbb{R}$. Por lo tanto, $\Gamma=\{x:x_1=0\}$.
- Desde todos los niveles, las superficies son planos, y que son distintos, deben ser paralelas. Después de la rotación, $f$ es una función de $x_1$ sólo: más específicamente, $x_1$ o $-x_1$.
