$${\LARGE\int}_0^\tfrac\pi2\frac{dx}{\bigg(\sqrt[{\Large 5}]{\cos^5x+10\cos^3x\sin^2x+5\cos x\sin^4x}\bigg)^{\large 2}}~=~?$$
Su valor numérico es acerca de $1.40171345128228$. Maple, Mathematica, y a la Inversa Simbólico de la Calculadora no son capaces de devolver cualquier forma cerrada.
Motivación:
La integral anterior es que, hasta un cierto factor de escala, nada más que el área entre la gráfica de $x^n+y^n=r^n$, y el segundo bisector, para $n=5$. Para incluso los valores del exponente, tenemos el área de $x^{2k}+y^{2k}=r^{2k}$ ser igual a $A_{2k}=\displaystyle(2r)^2\cdot{2a\choose a}^{-1}$ donde $a=\dfrac1{2k}$. Para $n\!=\!3$ tenemos $A_3=\dfrac{r^2}{\sqrt[3]4}\cdot B\bigg(\dfrac12,\dfrac13\bigg)$. Pero, ¿cómo calcular su valor para impar exponentes mayor que $3$ está más allá de
me. En este caso, $A_5=r^2\cdot\sqrt[5]8\cdot I$
$\qquad\qquad$
$$x^5+y^5=1$$
Respuestas
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Método debido a Dirichlet, por su $r=1$ el área en el primer cuadrante es $$ \frac{\Gamma \left( \frac{6}{5} \right)^2}{\Gamma \left( \frac{7}{5} \right) } \approx 0.95015. $$
Dado que su número es mayor que $1,$ supongo que usted está recibiendo área para la totalidad de la cosa, a lo largo de la línea de $x+y = 0$ incluido. Sugiero tratar de cocientes de funciones Gamma, a ver si usted puede conseguir su $1.4017$
La fórmula general para el extraño $n=2k+1$ $~A_{n}=\displaystyle{2a\choose a}^{-1}+{-a\choose a}^{-1}$ donde $a=\dfrac1n$ , y el
el primer término representa el área dentro del primer sector o cuadrante. También, la integral simplemente podría haber
ha escrito como $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\Big(x+\sqrt[\large^n]{1-x^n}\Big)dx$, pero ambos Maple y Mathematica se enfrentan a importantes problemas
al evaluar en $(1,\infty)$, ya que en ambos identificar la n-ésima raíz de un número como el $($complejas$)$
cantidad con el menor argumento, es decir, cuyo ángulo formado con la positiva semi-eje es menos,
incluso cuando un real negativo existe una solución, en cuyo caso el ángulo es $180^\circ>\dfrac{360^\circ}n$ por extraño $n\ge3$.
