¿Por qué tomamos un derivado?

Question

No tengo una comprensión fundamental de lo que significa tomar una derivada y no entiendo por qué lo haríamos. Sólo sé cómo hacerlo mecánicamente.

Answer 1

Si $f(x)$ es una función (real) (de una variable real), entonces su derivada $f'(a)$ en un punto $a$ mide la sensibilidad de $f$ a pequeños cambios en $x$ alrededor de $a$ . Por ejemplo, supongamos que $x$ es "la altura del sol en el cielo" y $f(x)$ es "la longitud de la sombra proyectada por este árbol". A continuación, $f'(a)$ es una medida de la sensibilidad de la longitud de la sombra a un pequeño cambio en la altura del sol si la altura es de alrededor de $a$ . Experimentalmente, $f'(a)$ será pequeño si el sol está alto en el cielo ( $a$ es grande) mientras que $f'(a)$ será mayor a medida que el sol baje en el cielo ( $a$ es pequeño). La derivada nos da una forma de cuantificar esta observación.

He decidido no utilizar el término "tasa de cambio" porque creo que algunos estudiantes han oído este término tantas veces que se han vuelto inmunes a él, así que quizás lo anterior tenga más sentido.

Answer 2

No sé qué tipo de explicación has recibido antes, si es que has recibido alguna, así que creo que empezaré con una de las habituales. Permítanme que les presente primero el cociente de diferencias: $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Tiene una interpretación geométrica muy bonita.

En esta imagen, la curva es la gráfica de una función. Espero que puedas entender por mi imagen que la longitud de la línea roja horizontal es $h$ , mientras que $f(x+h)-f(x)$ es la longitud de la línea roja vertical. Así que $f(t)$ aumenta en una cantidad de $f(x+h)-f(x)$ cuando $t$ aumenta en una cantidad de $h$ de $x$ . Esto significa que el incremento medio en el eje vertical por unidad del eje horizontal viene dado por el cociente de la diferencia $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$ Así pues, el cociente de la diferencia es el aumento medio de un $f(t)$ en el intervalo $[x,x+h]$ . Otra forma de decirlo es que la diferencia es la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(x,f(x))$ y $(x+h,f(x+h))$ así:

Así que la línea verde $g(t)$ puede escribirse como $$g(t) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} t + b$$ donde $b=g(0)$ (el punto donde $g$ cruza el eje vertical).

Cuando tomamos la derivada de $f$ en $x$ encontramos el límite del cociente de la diferencia como $h$ va a $0$ o $$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$ Esta es la definición de la derivada. Imagina que $h$ se hace cada vez más pequeño. Entonces el punto $(x+h,f(x+h)-f(x))$ se acercará cada vez más al punto $(x, f(x))$ y la línea verde se acercará cada vez más a la línea tangente de $f$ en $x$ .

Así que cuando $h \to 0$ El cociente de la diferencia se convierte en la pendiente de la tangente, y ahora tenemos una interpretación de la derivada:

La derivada $f'(x)$ es la pendiente de la recta tangente de $f$ en $x$ .

Terminemos tratando de encontrar la derivada de la función $f(x)=x^2$ en el punto $x=1$ sólo con la ayuda del límite indicado anteriormente. $$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$$ $$= \lim_{h\to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{2xh+h^2}{h}$$ $$= \lim_{h\to 0} 2x+h = \underline{2x}$$ Cuando conectamos $x=1$ conseguimos que $f'(1) = 2$ . Espero que esto ayude.

Answer 3

Recomiendo su lectura: https://web.archive.org/web/20200218154616/http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/derivs/deriv5.html

Es una explicación bastante buena, no técnica, del derivado y de por qué uno puede preocuparse por él.

Answer 4

La derivada puede interpretarse de varias maneras, según el contexto. Desde un punto de vista físico sencillo, se puede considerar como una tasa de cambio. Si quieres saber la tasa de cambio en un punto determinado (por ejemplo, la velocidad de 3 segundos en el movimiento de una pelota lanzada), la derivada te dará la respuesta. Desde el punto de vista geométrico, la derivada nos indica la pendiente de la línea tangente en un punto determinado.

Desde una perspectiva histórica, esto es una especie de solución para Las paradojas del movimiento de Zenón .

Answer 5

Una derivada puede interpretarse como la pendiente de una línea tangente o una tasa de cambio (en particular, una velocidad). Por ejemplo, puedes ver estas notas