Cómo determinar si esta serie convergente o divergente?

Question

¿

$$ \dfrac{7}{19}+\dfrac{7}{19}\sqrt{\dfrac{7}{19}}+\dfrac{7}{19}\sqrt{\dfrac{7}{19}}\sqrt[3]{\dfrac{7}{19}}+\cdots+\dfrac{7}{19}\sqrt{\dfrac{7}{19}}\sqrt[3]{\dfrac{7}{19}}\cdots\sqrt[n]{\dfrac{7}{19}}+\cdots $$

convergen o divergen?

La siguiente es mi idea:

uso $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}>\ln{n}$

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{7}{19}\right)^{(1+1/2+\cdots+1/n)} < \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{7}{19}\right)^{\ln{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}n^{-\ln(19/7)} $$ Pero $p=\ln{\dfrac{19}{7}}<1$, robaba $\dfrac{19}{7}\approx 2.71428<e=2.71828$

Supongo que la serie es divergente, porque yo uso $$1+1/2+\cdots+1/n\approx \ln{n}, n\to\infty$$

para encontrar $$\sum_{n=1}^{\infty} (1/x)^{1+1/2+1/3+\cdots+1/n}$$ is convergent only if $x>e$.

Entonces, mi pregunta es: ¿cómo puedo determinar si

$$ \dfrac{7}{19}+\dfrac{7}{19}\sqrt{\dfrac{7}{19}}+\dfrac{7}{19}\sqrt{\dfrac{7}{19}}\sqrt[3]{\dfrac{7}{19}}+\cdots+\dfrac{7}{19}\sqrt{\dfrac{7}{19}}\sqrt[3]{\dfrac{7}{19}}\cdots\sqrt[n]{\dfrac{7}{19}}+\cdots $$

converge o diverge? Gracias

Answer 1

Se puede utilizar el test de Raabe.

Tenemos una serie $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \qquad \mathrm{donde } \quad a_n = \left(\dfrac{7}{19}\right)^{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}. $$

Nos wil construir valor de $R_n= n \left( \dfrac{a_{n+1}}{a_n}-1\right)$. Denotar $R=\lim\limits_{n\to\infty} R_n$.

Si $R<-1$, entonces la serie converge.
Si $R>-1$, entonces la serie diverge.

$R_n = n\left(\left(\dfrac{7}{19}\right)^{\frac{1}{n+1}}-1\right)= n\left( \exp(\frac{1}{n+1}\ln\frac{7}{19})-1\right)$.

Utilizando la serie de Taylor para $\exp$, obtenemos $$R_n = n \sum_{j=1}^{\infty} \dfrac{ \left(\frac{1}{n+1} \ln\frac{7}{19}\right)^j }{j!}.$$

Por eso, $R=\lim\limits_{n\to\infty} R_n = \ln\frac{7}{19} >\ln \frac{1}{e}=-1$. (porque $\frac{19}{7}<e$).

En realidad, $R \approx -0,99852883011112715490367468844.\;$

Así, la serie diverge.

Answer 2

Desde

$$ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \log n + \gamma + o(1), $$

tenemos, por $x > 0$,

$$ x^{H_n} \sim x^{\log n + \gamma} = x^\n gamma^{\log x} $$

Como $n \to \infty$. Luego podemos aplicar el límite de la prueba de comparación a la conclusión de que

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x^{H_n}} $$

converge al $\log x > 1 \Leftrightarrow x > e$ y diverge cuando $\log x \leq 1 \Leftrightarrow x \leq e$.

Desde $19/7 < e$ la serie en su pregunta diverge.