Interpretación geométrica de la desigualdad de Young

Question

¿Existe una interpretación geométrica de la desigualdad de Young? $$ab \leq \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}$$ con $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} = 1$ ?

Mi intento es decir que $ab$ podría ser la superficie de un rectángulo, y que también podríamos decir que

$\dfrac{a^{p}}{p}=\displaystyle \int_{0}^{a}x^{p-1}dx$ ,

pero con ellos estoy atascado.

Answer 1

Para los positivos $a$ , $b$ , $p$ y $q$ reescribiremos nuestra desigualdad en la siguiente forma. $$\ln\left(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\right)\geq\frac{1}{p}\ln{a^p}+\frac{1}{q}\ln{a^q},$$ que es justo Jensen para la función cóncava $\ln$ que es la geometría, por supuesto.